Với giải Luyện tập 4 trang 96 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Luyện tập 4 trang 96 Toán lớp 10: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC²

Lời giải:

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

                   = AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

Suy ra: 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  = 0

$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=0$  hay  $\cos \widehat{BAC}=0$

Do đó: $\widehat{BAC}=90°$.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Lý thuyết Một số ứng dụng

3.1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét:

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: ${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$.

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: AB = $\sqrt{{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2}$

3.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét:

+ Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = 0  ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.$+ Hai đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}}=0$, trong đó $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ ≠ 0, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ ≠ 0, giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng b.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau và $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=\sqrt{2}$. Chứng minh hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Vì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = 0

Ta có:

$\left(2 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$ = $2{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^2$ = $2{\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}-{\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2$

= 2.1² + 0 – ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ = 0

Vì tích của hai vectơ 2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ bằng 0 nên chúng vuông góc với nhau.