Trả lời nhanh
Toán 10 Bài 13 (Kết nối tri thức) học bốn số đặc trưng đo xu thế trung tâm: số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt. Khi mẫu số liệu có giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ), nên dùng trung vị thay cho số trung bình; tứ phân vị chia dãy đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau; mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất.
Kiến thức cần nhớ trước khi giải
| Số đặc trưng | Cách tính | Khi nào dùng |
|---|---|---|
| Số trung bình x̄ | x̄ = (x1 + x2 + … + xn) : n; với bảng tần số: x̄ = (m1x1 + … + mkxk) : n | Số liệu khá đồng đều, không có giá trị bất thường |
| Trung vị Me | Sắp xếp không giảm; n lẻ lấy giá trị chính giữa, n chẵn lấy trung bình hai giá trị chính giữa | Có giá trị bất thường làm lệch số trung bình |
| Tứ phân vị Q1, Q2, Q3 | Q2 là trung vị; Q1, Q3 là trung vị của nửa dưới, nửa trên (n lẻ thì không tính Q2 vào hai nửa) | Chia nhóm, xếp loại, mô tả sự phân bố |
| Mốt Mo | Giá trị có tần số lớn nhất (có thể có nhiều mốt) | Số liệu dạng phân loại: cỡ giày, cỡ áo, màu sắc |
1. Số trung bình và trung vị
HĐ1 trang 78: trung bình điểm hai lớp
Mỗi lớp có 25 học sinh; cộng điểm từ bảng được tổng lớp A là 148, lớp B là 157. Điểm trung bình lớp A: 148 : 25 = 5,92; lớp B: 157 : 25 = 6,28.
Lưu ý: bảng cho dạng tần số thì phải nhân mỗi mức điểm với số học sinh đạt mức đó rồi mới cộng.
HĐ2 trang 78: so sánh hai phương pháp học
Hai lớp có trình độ ban đầu tương đương, lớp B có điểm trung bình cao hơn (6,28 > 5,92), nên phương pháp áp dụng cho lớp B hiệu quả hơn.
Luyện tập 1 trang 79: thời gian chạy 100 m
Bảng: thời gian 12, 13, 14, 15, 16 giây với số bạn tương ứng 5, 7, 10, 8, 6. Cỡ mẫu n = 5 + 7 + 10 + 8 + 6 = 36.
x̄ = (5·12 + 7·13 + 10·14 + 8·15 + 6·16) : 36 = 507 : 36 ≈ 14,08 (giây).
HĐ3 trang 79: thu nhập trong công ty
Công ty có 6 người: giám đốc 20 triệu, 5 nhân viên mỗi người 4 triệu. Thu nhập trung bình: (20 + 5·4) : 6 = 40 : 6 ≈ 6,67 triệu đồng. Con số này cao hơn hẳn thu nhập thực của mọi nhân viên, vì một giá trị rất lớn (20 triệu) đã “kéo” số trung bình lên. Đây chính là lí do cần thêm khái niệm trung vị.
Luyện tập 2 trang 79: chiều dài cá voi
Số liệu (feet): 48, 53, 51, 31, 53, 112, 52. Số trung bình: 400 : 7 ≈ 57,14. Sắp xếp: 31, 48, 51, 52, 53, 53, 112; n = 7 lẻ nên trung vị là giá trị thứ 4, Me = 52.
Giá trị 112 quá lớn so với phần còn lại, làm số trung bình lệch lên trên hầu hết các con cá voi. Vì vậy trung vị 52 đại diện tốt hơn.
2. Tứ phân vị
HĐ4 trang 80: xác định ngưỡng điểm trao giải
Sắp xếp 12 điểm: 58, 69, 69, 74, 75, 75, 77, 81, 87, 88, 92, 97.
- Q2 = (75 + 77) : 2 = 76 (trung bình giá trị thứ 6 và 7).
- Nửa dưới gồm 6 giá trị đầu, Q1 = (69 + 74) : 2 = 71,5.
- Nửa trên gồm 6 giá trị cuối, Q3 = (87 + 88) : 2 = 87,5.
Phân giải: điểm lớn hơn 87,5 nhận giải Nhất (88, 92, 97); từ 76 đến 87,5 nhận giải Nhì (77, 81, 87); từ 71,5 đến 76 nhận giải Ba (74, 75, 75); dưới 71,5 nhận giải Tư (58, 69, 69).
Luyện tập 3 trang 81: tứ phân vị từ bảng tần số
Với bảng tần số, em viết lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm (mỗi giá trị lặp lại đúng bằng tần số của nó), hoặc dùng tần số tích luỹ để tìm vị trí. Sau đó áp dụng quy tắc như HĐ4. Ví dụ tương tự: dãy 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 (n = 9) có Q2 = 8 (giá trị thứ 5); nửa dưới 6, 7, 7, 8 cho Q1 = 7; nửa trên 8, 9, 9, 10 cho Q3 = 9.
3. Mốt
HĐ5 trang 81: cửa hàng nên nhập cỡ giày nào?
Với cỡ giày, số trung bình không có ý nghĩa thực tế (không ai đi cỡ 39,9). Cửa hàng cần biết cỡ được mua nhiều nhất, tức là mốt. Ví dụ tương tự: thống kê 50 khách với cỡ 38, 39, 40, 41, 42 có số khách 5, 12, 20, 9, 4. Số trung bình là 39,9 nhưng mốt là cỡ 40 (tần số 20), nên ưu tiên nhập cỡ 40.
Vận dụng và bài tập cuối bài
Các bài cuối bài đều đi theo một quy trình: sắp xếp → tính các số đặc trưng → nhận xét giá trị bất thường → chọn số đại diện.
- Vận dụng trang 82: so sánh hai lớp bằng cả số trung bình và trung vị, không chỉ dựa vào một số.
- Bài 5.7 trang 82: tính đủ bốn số đặc trưng cho từng mẫu.
- Bài 5.8 trang 82: chọn số đặc trưng phù hợp và giải thích.
- Bài 5.9 trang 83: số học sinh giỏi của 10 trường.
- Bài 5.10 trang 83: số chỗ ngồi của các sân vận động.
Ví dụ mẫu tính đủ bốn số đặc trưng
Số giờ tự học trong tuần của 10 học sinh: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 14.
- Số trung bình: 55 : 10 = 5,5.
- Trung vị: n = 10 chẵn, Me = (5 + 5) : 2 = 5.
- Tứ phân vị: Q1 là trung vị của 2, 3, 3, 4, 5 nên Q1 = 3; Q3 là trung vị của 5, 5, 6, 8, 14 nên Q3 = 6.
- Mốt: Mo = 5 (xuất hiện 3 lần).
Nhận xét: giá trị 14 cao bất thường làm số trung bình (5,5) lớn hơn trung vị (5), nên dùng trung vị để đại diện cho thời gian tự học của nhóm.
Lỗi sai thường gặp
- Tìm trung vị khi chưa sắp xếp dãy số liệu.
- Với n lẻ, đưa luôn trung vị vào nửa dưới hoặc nửa trên khi tính Q1, Q3.
- Với bảng tần số, chia tổng cho số giá trị khác nhau thay vì cho cỡ mẫu n.
- Nghĩ mốt chỉ có một giá trị: mẫu có thể có hai mốt trở lên nếu nhiều giá trị cùng tần số lớn nhất.
Bài tập tự luyện có đáp án
- Tìm trung vị của mẫu 15, 18, 20, 22, 25, 25, 90 và cho biết vì sao không nên dùng số trung bình. Đáp án: Me = 22; số trung bình ≈ 30,71 bị giá trị 90 kéo lệch lên.
- Tìm tứ phân vị của mẫu 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10. Đáp án: Q1 = 7, Q2 = 8, Q3 = 9.
- Một mẫu có tần số: giá trị 1, 2, 3 lần lượt xuất hiện 4, 4, 2 lần. Tìm mốt. Đáp án: mẫu có hai mốt là 1 và 2.
Học tiếp chương 5
- Bài 12: Số gần đúng và sai số
- Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán
- Bài tập cuối chương V
- Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
- Trắc nghiệm Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Câu hỏi thường gặp
Toán 10 Bài 13 Kết nối tri thức học những số đặc trưng nào?
Bài học bốn số đặc trưng đo xu thế trung tâm: số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt.
Khi nào dùng trung vị thay cho số trung bình?
Khi mẫu số liệu có giá trị bất thường, rất lớn hoặc rất nhỏ so với phần còn lại, vì số trung bình bị kéo lệch còn trung vị thì hầu như không bị ảnh hưởng.
Tính Q1, Q3 khi cỡ mẫu lẻ như thế nào?
Sắp xếp dãy, lấy trung vị Q2 là giá trị chính giữa, bỏ giá trị này ra rồi lấy trung vị của nửa dưới làm Q1 và trung vị của nửa trên làm Q3.
Một mẫu số liệu có thể có mấy mốt?
Có thể có một hoặc nhiều mốt; mọi giá trị cùng có tần số lớn nhất đều là mốt của mẫu.