a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9   8   15   8   20

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350  300  650  300  450  500  300  250

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36  38  33  34  32  30  34  35

Lời giải:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9   8   15   8   20

Số trung bình: $\overline{X}={\displaystyle \frac{9+8+15+8+20}{5}}=12$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

8  8  9  15  20

Ta có n=5 là số lẻ nên trung vị là 9.

Mốt: Ta thấy số 8 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_2$

Ta có trung vị là 9=> $Q_2=9$.

+ Tìm $Q_1$

Nửa số liệu bên trái là:

8  8

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{8+8}{2}}=8$=>$Q_1=8$

+ Tìm $Q_3$

Nửa số liệu bên phải là:

15  20

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{15+20}{2}}=17,5$=>$Q_3=17,5$

Vậy số trung bình là 12, trung vị là 9 và mốt là 8, $Q_1=8$, $Q_3=17,5$

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350  300  650  300  450  500  300  250

Số trung bình: $\overline{X})\text{(}={\displaystyle \frac{350+300.3+650+450+500+250}{8}}$ $=387,5$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

250  300  300  300  350  450  500  650

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 300 và 350

=> Trung vị là ${\displaystyle \frac{300+350}{2}}=325$

Mốt: Ta thấy số 300 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 3 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_2$

Ta có trung vị là 325=> $Q_2=325$.

+ Tìm $Q_1$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

250  300  300  300

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{300+300}{2}}=300$=>$Q_1=300$

+ Tìm $Q_3$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

350  450  500  650

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{450+500}{2}}=475$=>$Q_3=475$

Vậy số trung bình là 387,5, trung vị là 325 và mốt là 300, $Q_1=300$, $Q_3=475$

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36  38  33  34  32  30  34  35

Số trung bình: $\overline{X}={\displaystyle \frac{36+38+33+34.2+32+30+35}{8}}=34$

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

30  32  33  34  34  35  36  38

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 34 và 34

=> Trung vị là 34

Mốt: Ta thấy số 34 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm $Q_2$

Ta có trung vị là 34=> $Q_2=34$.

+ Tìm $Q_1$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

30  32  33  34

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{32+33}{2}}=32,5$=>$Q_1=32,5$

+ Tìm $Q_3$

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

34  35  36  38

Trung vị của mẫu này là ${\displaystyle \frac{35+36}{2}}=35,5$=>$Q_3=35,5$

Vậy số trung bình là 34, trung vị là 34 và mốt là 34, $Q_1=32,5$, $Q_3=35,5$

Chú ý

Nếu n chẵn thì nửa số liệu bên trái (phải) $Q_2$ phải chứa cả $Q_2$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Tuổi thọ (tính theo năm) của 6 loại bóng đèn được ghi lại như sau:

19 20 31 18 26 24

b) Số cân nặng (tính theo kg) của 9 học sinh lớp 10D được ghi lại như sau:

373740424540424255

Hướng dẫn giải

a) Tuổi thọ trung bình của 6 loại bóng đèn là:

$\frac{19+20+31+18+26+24}{6}$= 23 (năm)

+ Ta tìm trung vị của mẫu số liệu:

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Dãy trên có hai giá trị chính giữa lần lượt là 20 và 24.

Vậy trung vị của mẫu số liệu là: $\frac{20+24}{2}=22$.

+ Vì các giá trị 18; 19; 20; 24; 26; 31 trong mẫu số liệu đều xuất hiện với tần số như nhau (1 lần) nên mẫu số liệu này không có mốt.

+ Ta tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

Giá trị Q₂ chính là trung vị của mẫu số liệu. Do đó ta có Q₂ = 22.

Ta tìm Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂:

Giá trị chính giữa lúc này là 19. Ta suy ra Q₁ = 19.

Ta tìm Q₃ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂:

Giá trị chính giữa lúc này là 26. Ta suy ra Q₃ = 26.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ = 19; Q₂ = 22; Q₃ = 26.

b) Số cân nặng trung bình của 9 học sinh lớp 10D là:

$\frac{37.2+40.2+42.3+45+55}{6}\approx \mathrm{63,33}\left(kg\right)$

+ Ta tìm trung vị của mẫu số liệu:

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Trung vị của mẫu số liệu là: 42.

+ Ta thấy giá trị 42 xuất hiện với tần số cao nhất (3 lần) nên mốt của mẫu số liệu này là 42.

+ Ta tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

Giá trị Q₂ chính là trung vị của mẫu số liệu. Do đó ta có Q₂ = 42.

Ta tìm Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂:

Dãy trên có hai giá trị chính giữa là 37 và 40. Do đó Q₁ = (37 + 40) : 2 = 38,5.

Ta tìm Q₃ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂:

Dãy trên có hai giá trị chính giữa là 42 và 45. Do đó Q₃ = (42 + 45) : 2 = 43,5.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ = 38,5; Q₂ = 42; Q₃ = 43,5.

Bài 2. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2019 – 2020 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

0 0 9 0 0 4 0 0 0 6

a) Tìm số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Số lượng học sinh trung bình là: $\frac{0.7+9+4+6}{10}$= 1,9 (học sinh)

+ Ta tìm trung vị của mẫu số liệu:

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 0.

Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 0.

+ Ta thấy giá trị 0 xuất hiện với tần số cao nhất (7 lần) nên mốt của mẫu số liệu này là 0.

+ Ta tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

Giá trị Q₂ chính là trung vị của mẫu số liệu. Do đó ta có Q₂ = 0.

Ta tìm Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂:

Giá trị chính giữa lúc này là 0. Ta suy ra Q₁ = 0.

Ta tìm Q₃ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂:

Giá trị chính giữa lúc này là 4. Ta suy ra Q₃ = 4.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ = 0; Q₂ = 0; Q₃ = 4.

b) Vì mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên trái Q₂, tức là trung vị, nên tứ phân vị thứ nhất Q₁ và trung vị Q₂ trùng nhau.

Bài 3. Sức chứa của một số sân vận động tại Việt Nam đã được thống kê và ghi lại như trong bảng sau (số liệu gần đúng):

Các giá trị số trung bình, trung vị và mốt bị ảnh hưởng như thế nào nếu bỏ đi số liệu sức chứa của sân vận động Cần Thơ?

Hướng dẫn giải

+ Trước khi bỏ đi số liệu sức chứa của sân vận động Cần Thơ, ta có:

Sức chỗ ngồi trung bình là:

$\frac{40000+50000+30000+20000}{4}$ = 35 000.

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Dãy trên có hai giá trị chính giữa lần lượt là 30 000 và 40 000.

Do đó trung vị của mẫu số liệu là: $\frac{30000+40000}{2}$ = 35 000.

Trong mẫu dữ liệu trên, sức chứa ở sân vận động Cần Thơ là lớn nhất.

Do đó mốt của mẫu dữ liệu trên là “Cần Thơ”.

+ Sau khi bỏ đi số liệu sức chứa của sân vận động Cần Thơ, ta có:

Sức chỗ ngồi trung bình là:

$\frac{40000+30000+20000}{3}$ = 30 000.

Sắp xếp các giá trị đã cho theo thứ tự không giảm:

Dãy trên có giá trị chính giữa lần lượt là 30 000.

Do đó trung vị của mẫu số liệu là: 30 000.

Trong mẫu dữ liệu trên, sức chứa ở sân vận động Mỹ Đình là lớn nhất.

Do đó mốt của mẫu dữ liệu trên là “Mỹ Đình”.

+ Nếu bỏ đi số liệu sức chứa của sân vận động Cần Thơ, ta thấy:

Giá trị số trung bình và trung vị đều giảm 5000 (giảm từ 35 000 xuống còn 30 000).

Mốt của dữ liệu cũng bị thay đổi từ “Cần Thơ” sang “Mỹ Đình”.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 78 Toán loán lớp 10: Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B...

HĐ2 trang 78 Toán lớp 10: Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn...

Luyện tập 1 trang 79 Toán lớp 10: Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):...

HĐ3 trang 79 Toán lớp 10: lệch về thu nhập của mỗi thành viên so với thu nhập trung bình...

Luyện tập 2 trang 79 Toán lớp 10: Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:...

HĐ4 trang 80 Toán lớp 10: Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:...

Luyện tập 3 trang 81 Toán lớp 10: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:...

HĐ5 trang 81 Toán lớp 10: Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:...

Vận dụng trang 82 Toán lớp 10: Hai phương pháp học tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điềm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên...

Bài 5.8 trang 82 Toán lớp 10: Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tinh giá trị của số đặc trưng đó...

Bài 5.9 trang 83 Toán lớp 10: Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2016-2017 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:...

Bài 5.10 trang 83 Toán lớp 10: Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong