Bài 4.34 trang 72 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
.
Phương pháp giải:
+) ABCD là hình bình hành thì:
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên
Cách 2:
Ta có: (*)
Áp dụng quy tắc hiệu ta có:
Do đó (*) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)
Cách 3:
Ta có:
Vì ABCD là hình bình hành nên hay
(đpcm)
Bài 4.35 trang 72 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).
a) Tìm tọa độ của các vectơ và
b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Phương pháp giải:
a) Tọa độ của vectơ:
b) Tính , chỉ ra góc vuông trong tam giác ABC.
c) Công thức tọa độ của trọng tâm G là
d) BCAD là một hình bình hành
Lời giải:
a) Ta có: và
b)
Ta có:
hay
Vậy tam giác ABC vuông tại B.
Lại có: ;
Và (do vuông tại B).
Diện tích tam giác ABC là:
Chu vi tam giác ABC là:
c) Tọa độ của trọng tâm G là
d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).
Ta có: và
Vì BCAD là một hình bình hành nên
Vậy D có tọa độ (-1; -2)
Bài 4.36 trang 72 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5).
a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ và
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ và cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ và cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ theo các vectơ và .
Phương pháp giải:
a) Tọa độ của vectơ:
b) Tìm sao cho:
c) Vectơ và cùng phương
d)
Lời giải:
a) Ta có: và
b) Dễ thấy:
Vậy hai vectơ và cùng phương.
c) Ta có: và
Để và cùng phương thì
Vậy hay thì hai vectơ và cùng phương
d)
Cách 1:
Ta có: ;
Mà (quy tắc cộng)
Cách 2:
Giả sử (*)
Ta có: , ,
Do đó (*)
Vậy
Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10: Cho vectơ . Chứng minh rằng (hay còn được viết là ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ .
Phương pháp giải:
Cho vectơ . Chứng minh rằng (hay còn được viết là ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ .
Lời giải:
Cách 1:
Gọi tọa độ của vectơ là (x; y).
Ta có: .
Đặt
Mặt khác:
và với mọi
Do đó vectơ và cùng hướng.
Vậy (hay ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ .
Cách 2:
Với mọi vectơ , ta có: . Đặt
Mặt khác: và
Do đó vectơ và cùng hướng.
Vậy (hay ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ .
Bài 4.38 trang 72 Toán lớp 10: Cho ba vectơ với và . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị Chứng minh rằng:
a) Vectơ có tọa độ là
b)
Phương pháp giải:
a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ
+)
b) Vectơ có tọa độ trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị thì
Lời giải:
a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho
Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị , lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.
Gọi tọa độ của là . Đặt .
+) Nếu :
+) Nếu :
Như vậy ta luôn có:
Chứng minh tương tự, ta có:
Vậy vectơ có tọa độ là
b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị , vectơ có tọa độ là
Bài 4.39 trang 72 Toán lớp 10: Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.
Phương pháp giải:
Định lí cosin trong tam giác OAC:
Lời giải:
Lấy các điểm: A, C sao cho:
Vectơ vận tốc dòng nước
Vectơ vận tốc chuyển động
Ta có: , với là vectơ vận tốc riêng của cano.
Gọi B là điểm sao cho thì OACB là hình bình hành.
Vì tàu chuyển động theo hướng nên vectơ tạo với hướng Nam (tia OS) góc và tạo với hướng Đông (tia OE) góc .
Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ cùng hướng với vectơ
Do đó góc tạo bởi vectơ và vectơ là
Xét tam giác OAC ta có:
; và
Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:
Vậy vận tốc riêng của cano là 19,44 km/h
Xem thêm lời giải Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: