Sách bài tập Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4

3 K

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 1

A. Trắc nghiệm

Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với AC là:

A. 6;

B. 3;

C. 4;

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với AC là: AC,CA,AO,OA,OC,CO.

Vậy có 6 vectơ khác vectơ - không và cùng phương với AC 

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

A. Hai vectơ AB và CB cùng hướng;

B. Hai vectơ CA và BC cùng hướng;

C. Hai vectơ AB và AC cùng hướng;

D. Hai vectơ AC và BA cùng hướng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì B nằm giữa A và C nên ta có:

• AB và CB ngược hướng. Do đó phương án A sai.

• CA và BC ngược hướng. Do đó phương án B sai.

• AB và AC cùng hướng. Do đó phương án C đúng.

• AC và BA ngược hướng. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Giải SBT Toán 10 trang 67 Tập 1

Bài 4.41 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AK?

A. 2;

B. 6;

C. 4;

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Lại có K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

Nên AK = KB = DM = MC và NL // AB // CD

Do đó ABLN là hình bình hành (do AB // NL và AN // BL)

Suy ra AB = NL = CD

Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó đường trung bình NL đi qua O

Và NO = OL = 12NL=12AB=12CD

Suy ra AK = KB = NO = OL = DM = MC.

Khi đó các vectơ bằng vectơ AK là: KB,OL,DM,MC.

Vậy có 4 vectơ bằng vectơ AK

Ta chọn phương án C.

Bài 4.42 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và DAB^=120°. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD suy ra AB=DC.

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó BDAC nên BDAC.

Do đó phương án B là sai.

• Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét DABD có AB = AD = 1 và DAB^=120°, áp dụng định lí cosin ta có:

BD2 = AD2 + AB2 – 2.AD.AB.cosDAB^

Þ BD2 = 12 + 12 – 2.1.1.cos120°

Þ BD2 = 3

Þ BD = 3

Khi đó BD=BD=3.

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác DAB^=120° nên ADC^=180°DAB^=180°120°=60°

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có ADC^=60°

Suy ra DADC là tam giác đều

Þ AC = AD = CD = 1.

Khi đó AC=AC=1.

Do đó phương án D là đúng.

Bài 4.43 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ AG bằng

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và BAC^=60°.

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Þ 32 + 2.3.3.cos60° + 32 = 4.AM2

Þ 4.AM2 = 27

Þ AM2 = 274

Þ AM = 274=332

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = 23AM

Þ AG = 23.332=3.

Khi đó AG=AG=3.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.44 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ CB+AB bằng

A. 13;

B. 213;

C. 4;

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi D là điểm thỏa mãn AB=CD

Khi đó CD // AB và CD = AB   (1)

Ta có: CB+AB=CB+CD

Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành.

Khi đó CD // BE và CD = BE   (2)

Từ (1) và (2) ta có: AB ≡ BE và AB = BE

Do đó B là trung điểm của AE

Þ AE = 2AB = 2.3 = 6.

Xét tam giác ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

CE2 = AC2 + AE2 = 42 + 62 = 52

Þ CE = 52=213.

Vì ABCD là hình bình hành nên CB+CD=CE (quy tắc hình bình hành)

CB+AB=CB+CD=CE=CE=213.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.45 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và ABC^=60°. Độ dài của vectơ ACBA bằng

A. 2;

B. 4;

C. 19;

D. 192

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xét DABC có AB = 2, BC = 4 và ABC^=60°.

Khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

BAC^=90°.

Ta có: ACBA=AC+AB

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành

Khi đó ACBA=AC+AB=AD

ACBA=AD=AD

Hình bình hành ABDC có BAC^=90° nên là hình chữ nhật.

Do đó AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)

ACBA=AD=BC=4.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.46 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IB+2IC=0.Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: IB+2IC=0IB=2IC

Khi đó IB và IC là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và IB = 2IC.

Khi đó điểm I nằm giữa hai điểm B và C sao cho IB = 2IC.

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BI.

Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC.

Vì I là trung điểm của MC nên ta có:

2AI=AM+AC             (1)

Vì M là trung điểm của BI nên ta có:

2AM=AB+AI   

AM=12AB+12AI     (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy ta chọn phương án D.

Giải SBT Toán 10 trang 68 Tập 1

Bài 4.47 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Xét phương án A:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM và G nằm giữa A, M.

Khi đó GA, GM là hai vectơ ngược hướng

Nên GA=2GM

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì M là trung điểm của BC nên AB+AC=2AM

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 23AM

Hai vectơ AG và AM cùng hướng nên AG=23AM

2AM=3AG

Khi đó AB+AC=2AM=3AG.

Do đó phương án B là đúng.

• Xét phương án C:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM = 3MG và G nằm giữa A, M.

Khi đó AM, MG là hai vectơ ngược hướng

Nên AM=3MG

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Ta có 2AM=3AG (chứng minh khi xét phương án B)

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.48 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là

A. (1; 2);

B. (2; 1);

C. (1; –2);

D. (–2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

xG=3+2+43=1yG=1+1+63=2

Þ G(1; 2)

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.49 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A. (5; 4);

B. (4; 5);

C. (4; 3);

D. (3; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.50 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng AB.AC bằng:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì ABCD là hình vuông nên DABC vuông cân tại B

Do đó:

• BAC^=45°

• AC = AB2+BC2=a2+a2=a2 (theo định lí Pythagore)

Ta có: AB.AC = AB.AC.cosBAC^ 

= a.a.2.cos45°

= a.a2.22

= a2.

Do đó AB.AC = a2.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.51 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ a,b cùng khác 0 Khi đó a.b=a.b tương đương với

A. a và b cùng phương;

B. a và b ngược hướng;

C. a và b cùng hướng;

D. ab

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: a.b=a.b.cosa,b

Do đó để a.b=a.b

cosa,b=1

a,b=0°

a và b cùng hướng.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.52 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1Cho hai vectơ a,b cùng khác 0 Khi đó a.b=a.b tương đương với

A. a và b cùng phương;

B. a và b ngược hướng;

C. a và b cùng hướng;

D. ab

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: a.b=a.b.cosa,b

Do đó để a.b=a.b

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a và b ngược hướng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.53 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và ABC^=60°. Tích vô hướng BC.CA bằng

A. 3

B. -3

C. 3;

D. –3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: BC.CA= BC.CA.cosBC,CA

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

Khi đó: BC,CA=ACx^

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2

Nên AB = 12BC

Lại có ABC^=60°. 

Do đó DABC vuông tại A.

Suy ra:

• AC = BC2AB2=2212=3

• ACB^=90°ABC^=90°60°=30°

Mà ACx^=180°ACB^ (do hai góc ACx^ và ACB^ kề bù)

ACx^=180°30°=150°

Do đó BC.CA= BC.CA.cosACx^

= 2.3.cos150°

= 2.3.32

= –3.

Vậy ta chọn phương án D.

Giải SBT Toán 10 trang 69 Tập 1

Bài 4.54 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB  OC là

A. m = –2;

B. m = 2;

C. m = ±2;

D. m = 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:

AB=3;6 và OC=3m;2m1

Để AB  OC thì ABOC

AB.OC=0

Û −3.3m + 6.(2m – 1) = 0

Û −9m + 12m – 6 = 0

Û 3m = 6

Û m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.55 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng AM.NP bằng

A. 23

B. -12

C. 0;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Þ MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

Þ ANMP là hình bình hành

Mặt khác:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

AMNPAM.NP=0.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM  NP. Tỉ số của APAB bằng

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Giả sử APAB=x (x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

BMMC=21BMBM+MC=22+1

Hay BMBC=23BM=23BC

Do đó BM=23BC

Tương tự ta cũng có AP=xAB và AN=13AC.

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mặt khác ta có: AM  NP

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và BAC^=60°.

Ta có: AB.AC=AB.AC.cosBAC^

= 1.1.cos60° = 12

Khi đó:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

(thỏa mãn)

Vậy APAB=512.

Ta chọn phương án A.

Bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ MA và MC bằng

A. a22;

B. -a22;

C. a2;

D. –a2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

BMMC=21BMBM+MC=22+1

Hay BMBC=23BM=23BC

Do đó BM=23BC

Tương tự ta có MC=13BC.

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Khi đó:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và BAC^=60°.

Ta có: AB.AC=AB.AC.cosBAC^

= 3a.3a.cos60° = 92a2

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy MA.MC=-12a2.

Ta chọn phương án B.

Bài 4.58 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thoả mãn MCMB=MCAC là

A. đường tròn tâm A bán kính BC.

B. đường thẳng đi qua A và song song với BC.

C. đường tròn đường kính BC.

D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Û BC = MA

Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).

Vậy ta chọn phương án A.

Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1

B. Tự luận

Bài 4.59 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M,  theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ AB; những vectơ cùng hướng với AB; 

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

Þ MN // AB // DC và MN = AB = DC.

Þ AB=DC=MN

Vậy những vectơ bằng vectơ AB là: AB;DC;MN.

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của DADC

Þ NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với AB là: AB,NO,OM,NM,DC.

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

BI=23BO và OI=12BI (tính chất trọng tâm)   (1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

DJ=23DO và OJ=12DJ (tính chất trọng tâm)  (2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)   (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy BI = IJ = JD.

Bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt GB=uvà GC=v. Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ u và v: GA, GM, GN.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của DABC, DAMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) • Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+GB+GC=0

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Từ BM = MN = NC suy ra MC=2MB

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Tương tự ta cũng có: GN=13u+23v

Bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và CAB^=60°.

a) Tính tích vô hướng AB.AC, AB.BC.

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn 2AM+3MC=0 và NB+xNC=0 (x ≠ –1).  Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải:

a) Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

= 10 – 42

= 10 – 16

= –6

Vậy AB.AC=10, AB.BC=6.

b) Ta có

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

= (3 – x).10 – 42 + 3x.52

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN  BM thì AN.BM=0

1+xAN.BM=0 (với x ≠ –1)

Û 65x + 14 = 0

Û x = 1465

Vậy với x = 1465 thì AN  BM.

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt AB=u và AD=v.

a) Hãy biểu thị các vectơ APAQ qua hai vectơ u và v

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) • Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên PD=2PM

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 (vì M là trung điểm của AB)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

QB=xQN

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

(vì N là trung điểm của CD)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Với AP=13v+12u và AQ=x+22x+1u+xx+1v

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ AP và AQ cùng phương

x+22x+113=xx+113x+22x+1=xx+1

x+22x+1=xx+1

Þ x + 2 = 2x

Û x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Bài 4.63 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho AA'=2BC, BB'=2CA. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Lời giải:

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó GG' cùng phương với BA

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) • Vì E là trung điểm của AB nên AE=EB

F là trung điểm của CD nên FC=DF.

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

2KL=AE+FC=EB+DF

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

EB+DF=2NM

Do đó 2KL=2NM

KL=NM

Þ KL = NM và KL // NM

Þ KLMN là một hình bình hành.

b) Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

2EI=EN+EL=12ED+12EC

=12ED+EC=12.EF (do F là trung điểm của DC)

Do đó 2EI=12.EF

EI=14.EF

Suy ra hai vectơ EI và EF cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có DAB^=ABC^=90°, BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ CM, CM theo hai vectơ AB và AD

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Vì M là trung điểm của AB nên BM=12BA=12AB

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó CEA^=90°

Tứ giác ABCE có DAB^=ABC^=CEA^=90° nên là hình chữ nhật

Þ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = 13AD

EA=13DA=13AD

Mà CB=EA (do ABCE là hình chữ nhật)

CB=13AD

CM=CB+BM=13AD12AB

• Ta có: CD=CE+ED

Mà CE=BA (do ABCE là hình chữ nhật)

Và ED=23AD

CD=BA+23AD=AB+23AD 

Vậy CM=13AD12AB và CD=AB+23AD.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

AM+AC+AD=3AG

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ IC và ID ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên 9IC=5ID hay IC=59ID

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó hai vectơ AI và AG cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà AB  AD nên AB.AD=0

Do đó ta có: 196AI2 = 81AB2 + 64AD2

Þ 196AI2 = 81.22 + 64.32 = 900

Þ AI2 = 22549

Þ AI = 157

• Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy AI = 157 và BI = 137

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Lời giải:

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Suy ra: AB.CD+BC.AD+CA.BD

=AB.CD+BC.AB+BC+CD+ABBC.BC+CD

=AB.CD+BC.AB+BC2+BC.CDAB.BCAB.CDBC2BC.CD

= 0.

Vậy AB.CD+BC.AD+CA.BD=0.

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Tính các tích vô hướng Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Tìm góc giữa hai vectơ a và b+c.

Lời giải:

a) Với a = (1; 2), b = (3; –4) và c = (–5; 3) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Với  Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1) ta có:

• a=12+22=5;

• b+c = (–2; –1)

b+c=22+12=5.

• a.b+c = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Mà cosa,b+c=a.b+ca.b+c=45.5=45.

a,b+c143°7'48''

Vậy góc giữa hai vectơ a và b+c khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

AB = (3; 3) và AC = (7; –3)

Vì 3733=1 nên hai vectơ AB và AC không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G43;1.

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH  BC và BH  AC

Hay AH.BC=0 và BH.AC=0 

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

• AH = (x + 2; y – 1) và BC = (4; –6)

AH.BC = 4.(x + 2) – 6.(y – 1) = 0

Þ 4x – 6y = –14

Þ 2x – 3y = –7     (1)

• BH = (x – 1; y – 4) và AC = (7; –3)

BH.AC = 7.(x – 1) – 3.(y – 4) = 0

Þ 7x – 3y = –5     (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

Þ x = 25

Thay x = 25 vào (1) ta được:  2.25 – 3y =  –7

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H25;135.

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

AH=2IM với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), H25;135 và I(a; b) ta có:

• AH=125;85

• M là trung điểm của BC nên xM=1+52=3yM=4+22=1

Þ M(3; 1)

IM = (3 – a; 1 – b)

2IM = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I95;15.

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: BC và BD là hai vectơ cùng phương

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy D172;0 là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

Û 3 điểm A, E, B thẳng hàng

AB và AE là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• AB = (3; 4)

• AE = (b – 2; 1)

Khi đó AB và AE là hai vectơ cùng phương

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy E114;0 là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Với điểm F bất kì ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Để vectơ FA+FB+FC có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

Þ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = 113

Vậy F0;113.

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng P = mg = 2 500 . 10 = 25 000 (N)

Trọng lực  của ô tô hợp với hướng chuyển dời MN một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực P được phân tích thành hai thành phần P1 và P2 nên ta có:

P=P1+P2

(P1 có phương vuông góc với mặt dốc, P2 có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy P1 không có tác dụng với chuyển dời MN của xe và P2 ngược hướng với MN.

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

A = P.MN=P.MN.cosP,MN

= 25 000 . 50 . cos105°

≈ –323 524 (J)

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Đánh giá

0

0 đánh giá