Bài tập ( trang 58, 59 SGK Toán 9) 

a) Xác định hệ số góc $a$, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm $A(2;6)$.

b) Vẽ đồ thị của hàm số. 

Theo giả thiết đồ thị hàm số đi qua điểm $A(2;6)$. Thay $x=2,y=6$ vào  $(1)$, ta được:

$6=2.a+3\iff 6-3=2a$

                      $\iff 3=2a$

                      $\iff a={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Vậy $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$,

b)  Vẽ đồ thị hàm số:   $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$

Cho $x=2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}.2+3=3+3=6\Rightarrow A(2;6)$.

Cho $y=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{3}{2}}.x+3\Rightarrow x=-2\Rightarrow B(-2;0)$.

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;6)$ và $B(-2;0)$ là đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$.

Đồ thị được vẽ như hình bên. 

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng $y=-2x+3$ và trục $Ox$ (làm tròn đến phút).

Cho $x=0\Rightarrow y=-2.0+3=0+3=3\Rightarrow A(0;3)$

Cho  $y=0\Rightarrow 0=-2.x+3\iff x={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow B\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;3)$ và  $B\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$ ta được đồ thị hàm số $y=-2x+3.$.

Đồ thị được vẽ như hình bên. 

b) Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $y=-2x+3$ và trục $Ox\Rightarrow \alpha =\widehat{ABx}$.

Xét tam giác vuông $OAB$ vuông tại $O$, ta có: 

                                 $\tan \widehat{OBA}={\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{3}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=2$

Thực hiện bấm máy tính, ta được:

$\widehat{ABO}\approx {63}^0{26}^{\prime }$

Lại có $\widehat{ABO}$ và $\widehat{ABx}$ là hai góc kề bù, tức là:

                              $\widehat{ABO}+\widehat{ABx}={180}^0$

                     $\iff \widehat{ABx}={180}^0-\widehat{ABO}$

                    $\iff \widehat{ABx}\approx {180}^0-{63}^0{26}^{\prime }$

                     $\iff \widehat{ABx}\approx {116}^0{34}^{\prime }$

Vậy $\alpha \approx {116}^0{34}^{\prime }$.

Bài 29 trang 59 SGK toán 9 Tập 1: Xác định hàm số bậc nhất $y=ax+b$ trong mỗi trường hợp sau: 

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$;                                      $y=-x+2$

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$  và  $y=-x+2$ với trục hoành theo thứ tự là $A,B$ và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là $C$. Tính các góc của tam giác $ABC$ (làm tròn đến độ).

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

+) Hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$:     

     Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}.0+2=0+2=2\Rightarrow M(0;2)$.

     Cho $y=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{1}{2}}.x+2\Rightarrow x=-4\Rightarrow N(-4;0)$.

Đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$ là đường thẳng đi qua hai điểm $M(0;2)$ và $N(-4;0)$

+) Hàm số  $y=-x+2$:

     Cho $x=0\Rightarrow y=0+2=2\Rightarrow M(0;2)$.

     Cho $y=0\Rightarrow 0=-x+2\Rightarrow x=2\Rightarrow P(2;0)$.

Đồ thị hàm số $y=-x+2$   là đường thẳng đi qua hai điểm $M(0;2)$ và $P(2;0)$ 

b) +) Hoành độ điểm $C$ là nghiệm của phương trình:

${\displaystyle \frac{1}{2}}x+2=-x+2$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}x+x=2-2$

$\iff {\displaystyle \frac{3}{2}}x=0$

$\iff x=0$

Do đó tung độ của $C$ là: $y=0+2=2$. Vậy $C(0;2)\equiv M$.

 +) Vì $A$ thuộc trục hoành $Ox$ nên tung độ của $A$ bằng $0$. Thay $y=0$ vào $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$, ta được:

$0={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}x=-2$

$\iff x=-4$ 

Vậy $A(-4;0)\equiv N$.

+) Vì $B$ thuộc trục hoành $Ox$ nên tung độ của $B$ bằng $0$. Thay $y=0$ vào $y=-x+2$, ta được:

$0=-x+2$

$\iff x=2$

Vậy $B(2;0)\equiv P$.

Ta có được $OA=4,OB=2,OC=2,$$AB=OA+OB=4+2=6$.

Ta có: $OB=OC$ nên tam giác $COB$ vuông cân tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ) nên: $\hat{B}={45}^o$

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác đối với tam giác $AOC$ vuông tại $O$, ta có:

                         $\tan A={\displaystyle \frac{OC}{OA}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Thực hiện bấm máy tính, ta được:  $\hat{A}\approx {27}^o$

                         $\iff \hat{C}={180}^o-\hat{A}-\hat{B}$

                         $\iff \hat{C}\approx {180}^o-{27}^o-{45}^o$

                         $\iff \hat{C}\approx {108}^o$

c) Ta có: $AB=6(cm)$

Xét tam giác vuông $OAC$ vuông tại $O$, theo định lí Py-ta-go, ta có:

                 $A{C}^2=A{O}^2+O{C}^2=4^2+2^2=16+4=20$

             $\Rightarrow AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}(cm)$

Xét tam giác vuông $OBC$ vuông tại $O$, ta có:

                  $B{C}^2=B{O}^2+O{C}^2=2^2+2^2=4+4=8$

              $\Rightarrow BC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}(cm)$

$\mathrm{\Delta }OAC$ có $CO\mathrm{\perp }AB$ nên $CO$ là đường cao ứng với cạnh $AB$.

Chu vi tam giác là:

       $P=AB+BC+AC=6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}(cm)$

Diện tích tam giác là:

       $S={\displaystyle \frac{1}{2}}.OC.AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.2.6=6(c{m}^2)$ 

$y=x+1;y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+\sqrt{3};y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$

b) Gọi  $\alpha ,\beta ,\gamma$  lần lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục Ox.

Chứng minh rằng $tg\alpha =1,tg\beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}};tg\gamma =\sqrt{3}$

Tính số đo các góc $\alpha ,\beta ,\gamma .$

a)  

+ Hàm số $y=x+1$

   Cho $x=0\Rightarrow y=0+1=1\Rightarrow A(0;1)$

   Cho $x=-1\Rightarrow y=-1+1=0\Rightarrow B(-1;0)$

Đồ thị hàm số $y=x+1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B(-1;0)$

+ Hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+\sqrt{3}$

   Cho $x=-3\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}.(-3)+\sqrt{3}=0\Rightarrow D(-3;0)$

   Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}.0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\Rightarrow C(0;\sqrt{3})$

Đồ thị hàm $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+\sqrt{3}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $D(-3;0)$ và $C(0;\sqrt{3})$

+ Hàm số $y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$

   Cho $x=0\Rightarrow y=\sqrt{3}.0-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\Rightarrow E(0;-\sqrt{3})$

   Cho $x=1\Rightarrow y=\sqrt{3}.1-\sqrt{3}=0\Rightarrow F(1;0)$

Đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $E(0;-\sqrt{3})$ và $F(1;0)$

b)

Cách 1:

+ Đường thẳng $y=x+1$ có hệ số góc là $1$

Suy ra $tan\alpha =1\iff \alpha ={45}^o$

+ Đường thẳng $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+\sqrt{3}$ có hệ số góc là ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Suy ra $tan\beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\iff \beta ={30}^o$

+ Đường thẳng $y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$ có hệ số góc là $\sqrt{3}$

Suy ra $tan\gamma =\sqrt{3}\iff \alpha ={60}^o$

Cách 2:

+ Ta có:

$OA=OB=OF=1$, $OE=OC=\sqrt{3}$,  $OD=3$.

+ Xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$

               $\Rightarrow \tan \alpha =tanB={\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

               $\Rightarrow \alpha ={45}^o$  

Thực hiện bấm máy tính: 

+ Xét $\mathrm{\Delta }ODC$ vuông tại $O$

                $\Rightarrow \tan \beta =tanD={\displaystyle \frac{OC}{OD}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

                $\Rightarrow \beta ={30}^o$

+ Xét $\mathrm{\Delta }OEF$ vuông tại $O$

                $\Rightarrow \tan \beta =tan\widehat{OFE}={\displaystyle \frac{OE}{OF}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1}}=\sqrt{3}$

                $\Rightarrow \gamma ={60}^o$

Lại có $\widehat{OFE}$ và $\gamma$ là hai góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat{OFE}=\gamma$.

Vậy $\gamma ={60}^o$.

Dạng 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp:

Đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ có $a$ là hệ số góc.

Ví dụ: Hệ số góc của đường thẳng $y=-2x+1$ là $a=-2$

Dạng 2: Tính góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $(d).$

Phương pháp:

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có: $a=\tan \alpha$

Ví dụ: Góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $(d):y=\sqrt{3}x+1$ là $\alpha$

Khi đó: $\tan \alpha =\sqrt{3}$ nên $\alpha ={60}^0$

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc

Phương pháp:

Gọi phương trình  đường thẳng cần tìm là $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$.

Dựa vào lý thuyết về hệ số góc để tìm $a$. Từ đó, sử dụng dữ kiện còn lại của đề bài để tìm $b$.