b) Giải thích vì sao hai đường thẳng $y=2x+3$ và $y=2x–2$ song song với nhau ? (h.9)

Phương pháp giải:

Chú ý: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung

Lời giải:

a)  

b) Ta thấy hai đường thẳng trên không có điểm chung với nhau nên chúng song song.

a) $y=1,5x+2$;                b) $y=x+2$;                 

c) $y=0,5x-3$;                 d) $y=x-3$;   

e) $y=1,5x-1$;                 g) $y=0,5x+3$.

Phương pháp giải: 

+ $(d_5)y=0,5x-3\Rightarrow a_5=0,5$ và $b_5=-3$

    $(d_6)y=0,5x+3\Rightarrow a_6=0,5$ và $b_6=3$

Vì $a_5=a_6=0,5,b_5\ne b_6(-3\ne 3)$ nên $(d_5)$ song song với $(d_6)$.

Ba cặp đường thẳng cắt nhau là:

+ $(d_1)y=1,5x+2\Rightarrow a_1=1,5$ 

    $(d_3)y=x+2\Rightarrow a_3=1$ 

Vì $a_1\ne a_3(1,5\ne 1)$ nên $(d_1)$  và $(d_3)$ cắt nhau.

+ $(d_5)y=0,5x-3\Rightarrow a_5=0,5$ 

     $(d_3)y=x+2\Rightarrow a_3=1$ 

Vì $a_5\ne a_3(0,5\ne 1)$ nên $(d_5)$  và $(d_3)$ cắt nhau.

+ $(d_1)y=1,5x+2\Rightarrow a_1=1,5$

    $(d_6)y=0,5x+3\Rightarrow a_6=0,5$ 

Vì $a_1\ne a_6(1,5\ne 0,5)$ nên $(d_1)$  và $(d_6)$ cắt nhau. 

Bài 21 trang 54 SGK Toán 9 Tập 1 :Cho hàm số bậc nhất $y=mx+3$ và $y=(2m+1)x-5$. Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau;

b) Hai đường thẳng cắt nhau. 

a) Để hai đường thẳng song song thì:

$\{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\hfill \\ b\ne b^{\prime }\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=2m+1\hfill \\ 3\ne -5\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m-2m=1\hfill \\ 3\ne -5\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=-1(thỏamãnđiềukiện)\hfill \\ 3\ne -5(luônđúng)\hfill \end{array}$

Vậy $m=-1$ thì hai đường thẳng trên song song với nhau.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì:

$a\ne a^{\prime }\iff m\ne 2m+1$

             $\iff m-2m\ne 1$

             $\iff -m\ne 1$

             $\iff m\ne -1$

Kết hợp với điều kiện trên, ta có $m\ne -1,m\ne 0,m\ne {\displaystyle \frac{-1}{2}}$ thì hai đường thẳng trên cắt nhau.

Bài 22 trang 55 SGK Toán 9 Tập 1  :Cho hàm số $y=ax+3$. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng $y=-2x$.

b) Khi $x=2$ thì hàm số có giá trị $y=7.$ 

                            $\iff a=2$

Vậy $a=2$. 

Bài 24 trang 55 SGK Toán 9 Tập 1 :Cho hai hàm số bậc nhất 

Phương pháp giải:

+) Điều kiện để hàm số $y=ax+b$ là hàm số bậc nhất là $(a\ne 0)$

+) Hai đường thẳng: $(d)$: $y=ax+b$, $(a\ne 0)$  và $(d^{\prime })$: $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$  $(a^{\prime }\ne 0)$:

       $(d)$ cắt $(d^{\prime })\iff a\ne a^{\prime }$

       $(d)$ // $(d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$

       $(d)$ $\equiv$ $(d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$  và $b=b^{\prime }$

$y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$;                                       $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$

b) Một đường thẳng song song với trục hoành $Ox$, cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $1$, cắt các đường thẳng $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$ và $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$ theo thứ tự tại hai điểm $M$ và $N$. Tìm tọa độ của hai điểm $M$ và $N$.

a) Hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$

Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2}{3}}.0+2=0+2=2\Rightarrow A(0;2)$

Cho $y=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{2}{3}}.x+2\Rightarrow x=-3\Rightarrow B(-3;0)$

Đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ là đồ thị của hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$.

+) Hàm số $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$ 

Cho $x=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.0+2=0+2=2\Rightarrow A(0;2)$

Cho $y=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.x+2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow C\left({\displaystyle \frac{4}{3}};0\right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm $A,C$ là đồ thị của hàm số $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$.

b) Đường thẳng song song với trục $Ox$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $1$ có dạng: $y=1$.

Vì $M$ là giao của đường thẳng $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$ và $y=1$ nên hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình: 

${\displaystyle \frac{2}{3}}x+2=1$

$\iff {\displaystyle \frac{2}{3}}x=1-2$

$\iff {\displaystyle \frac{2}{3}}x=-1$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Do đó tọa độ $M$ là: $M\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$.

Vì $N$ là giao của đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$ và $y=1$ nên hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình:

$-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2=1$

$\iff -{\displaystyle \frac{3}{2}}x=1-2$

$\iff -{\displaystyle \frac{3}{2}}x=-1$

$\iff x={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Do đó tọa độ $N$ là: $N\left({\displaystyle \frac{2}{3}};1\right)$.

Bài 26 trang 55 SGK Toán 9 Tập 1  :Cho hàm số bậc nhất $y=ax-4$ (1). Hãy xác định hệ số $a$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y=2x-1$ tại điểm có hoành độ bằng $2$.

b) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y=-3x+2$ tại điểm có tung độ bằng $5$. 

Đồ thị hàm số $y=ax–4$ cắt đường thẳng $y=2x–1$ tại điểm có hoành độ bằng 2 nên thay $x=2$ vào phương trình hoành độ giao điểm trên, ta có:

$a.2-4=2.2-1$

$\iff 2a=4-1+4$

$\iff a={\displaystyle \frac{7}{2}}$.

b) Ta có:  $(1)$ $y=ax-4$

              $(2)$ $y=-3x+2$

Đồ thị hàm số $y=ax–4$ cắt đường thẳng $y=-3x+2$ tại điểm $A$ có tung độ bằng $5$ nên đường thẳng $y=-3x+2$ đi qua điểm có tung độ bằng $5.$

Thay tung độ giao điểm vào phương trình $(2)$, ta được:

$5=-3.x+2$

$\iff 5-2=-3x$

$\iff 3=-3x$

$\iff x=-1$

Do đó hoành độ giao điểm là $x=-1$. Thay $x=-1,y=5$ vào phương trình $(1)$ , ta được:

$5=a.(-1)-4$

$\iff 5+4=-a$

$\iff -a=9$

$\iff a=-9$

Vậy $a=-9$. 

Lý thuyết Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ:

Hai đường thẳng $y=3x+1$ và $y=3x-6$ có hệ số $a=a^{\prime }(=3)$ và $b\ne b^{\prime }$ $(1\ne -6)$ nên chúng song song với nhau.

Hai đường thẳng $y=3x+1$ và $y=3x+1$ có hệ số $a=a^{\prime }(=3)$ và $b=b^{\prime }(=1)$ nên chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng $y=x$ và $y=-2x+3$ có hệ số $a\ne a^{\prime }$ $(1\ne -2)$ nên chúng cắt nhau.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng $d:y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ và $d^{\prime }:y=a^{\prime }x+b^{\prime }\left(a^{\prime }\ne 0\right)$.

+) $d//d^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$

+) $d$ cắt $d^{\prime }$$\iff a\ne a^{\prime }$.

+) $d\equiv d^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b=b^{\prime }\end{array}$.

Dạng 2:  Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau

+) Ta có$y=ax+b$ với $a\ne 0$, $b\ne 0$ là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm $A\left(0;b\right)$, cắt trục hoành tại điểm $B\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right)$.

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$

Phương pháp:

Gọi $M\left(x;y\right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left(x;y\right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax+b=0$ luôn đúng thì $a=b=0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $M\left(x;y\right)$ là điểm cố định cần tìm.