Cho hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b'(a' ≠ 0)

d cắt d' ⇔ a ≠ a'

Chọn đáp án A.

Hoành độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm phương trình:

2x + 1 = x -1 nên x = -2

Với x = -2 thì y = 2. (-2) + 1 = -3

Vậy 2 đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại A(-2; -3).

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì điểm A(-2; -3) thuộc đồ thị hàm số y = (m + 1)x – 2

Suy ra: -3 = (m + 1).(-2) - 2

Chọn đáp án C.

Gọi M (x; y) là điểm cố định cần tìm, khi đó

(5 – 2m)x + m + 1 = y đúng với mọi m

⇔ −2mx + m + 1 + 5x – y = 0 đúng với mọi m

⇔ m (−2x + 1) + 1 – y + 5x = 0 đúng với mọi m

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12: Cho tam giác ABC có đường thẳng BC: Trắc nghiệm Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau có đáp án (phần 2) và A (1; 2). Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

Giả sử AH: y = ax + b

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC nên:

Mặt khác AH đi qua A (1; 2) nên ta có 3.1 + b = 2 ⇔ b = −1

Vậy AH: y = 3x – 1

Đáp án cần chọn là: D

 là điểm cố định mà d luôn đi qua

Đáp án cần chọn là: A

    a) (d) // (d1): y = 2x + 3

    b) (d) trùng (d2): y= -x + 1

    c) (d) cắt (d3): y = 1/2 x

    d) (d) ⊥ (d4): y = (-1)/2.x

Lời giải:

a) (d) // (d1) ⇔ a = 2; b ≠ 3

    b) (d) trùng (d2) ⇔ a = -1; b = 1

    c) (d) cắt (d3) ⇔ a ≠ 1/2; b ∈ R

    d) (d) ⊥ (d4) ⇔ a.a' = -1 ⇔ a = 2; b ∈ R

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) y = -4x + 5 và đi qua điểm M (1; -1)

Lời giải:

 (d') song song với đường thẳng (d) nên phương trình (d') có dạng: y = -4x + b (b ≠ 5)

    Do (d') đi qua M(1; -1) nên ta có: -1 = -4.1 + b ⇔ b = 3

    Vậy phương trình đường thẳng (d') là y = -4x + 3

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 2)x + 5

    (d2): y = (2m + 1)x + m - 4

    Xác định m để hai đường thẳng

    a) Cắt nhau

    b) song song với nhau

    c) vuông góc với nhau

    d) Trùng nhau

Lời giải:

 (d1): y = (m + 2)x + 5

    (d2): y = (2m + 1)x + m - 4

    a) (d1) cắt (d2) ⇔ m + 2 ≠ 2m + 1 ⇔ m ≠ 1

    b) (d1) // (d2) ⇔ 

    c) (d1) ⊥ (d2) ⇔ (m + 2).(2m + 1) = -1 ⇔ 2m2 + 5m + 3 = 0

    ⇔ (m + 1)(2m + 3) = 0 

    d) (d1)trùng (d2)  (không tồn tại m)

Bài 4: Cho hai đường thẳng (d1):y = mx + m và (d2): y = √3x + m2 + √3

    Chứng minh rằng (d1) và (d2)không trùng nhau với mọi giá trị của m.

Lời giải:

 (d1) trùng (d2) 

    Thay m = √3 vào (*) ta được: √3 = 3 + √3 (vô lí)

    Vậy (d1) và (d2)không trùng nhau với mọi giá trị của m

Bài 5: Cho hàm số y = (2m - 1)x + 3 - m có đồ thị (d). Xác định m để

 a) Đường thẳng (d) song song với đồ thị y = 2x + 5

    b) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn.

    c) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.

Lời giải:

    y = (2m - 1)x + 3 - m có đồ thị (d).

    a) Đường thẳng (d) song song với đồ thị y = 2x + 5

    ⇔ 2m - 1 = 2 ⇔ m = 3/2

    b) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn.

    ⇔ 2m - 1 > 0 ⇔ m > 1/2

    c) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.

    ⇔ 2m - 1 < 0 ⇔ m < 1/2

Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:

    a) (d) đi qua điểm A (-2; 1) và có hệ số góc là -2

    b) (d) đi qua điểm (-3; 4) và song song với đường thẳng (d'): y = 2x – 1

    c) (d) đi qua điểm (2; -3) và vuông góc với đường thẳng (d''): y = - 2x + 3

    d) (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 và song song với đường thẳng y = 2x + 1

Lời giải:

 a) y = -2x + 3

    b) y = 2x + 10

    c) y = 1/2.x - 4

    d) (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên (d) có dạng: y = 2x + b

    (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 nên:

    0 = 2.2 + b ⇒ b = -4

    Vậy phương trình (d) là y = 2x – 4

III. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là góc tọa độ và điểm A(2; 1)

Câu 2: Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x+(m+3) và y = 3x+(5-m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ?

B. Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

1. Đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = 4x + 1 và y = (m − 1)x + 2 song song với nhau?

Lời giải:

Theo đề bài ta có: b ≠ b' vì 1 ≠ 2

Để hai đường thẳng y = 4x + 1 và y = (m − 1)x + 2 song song thì:

4 = m − 1 hay m = 5.

Vậy để hai đường thẳng đã cho song song thì m = 5.

2. Đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'.

Chú ý. Khi a ≠ a' và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

Ví dụ 2. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m − 4)x − 2 cắt nhau.

Lời giải:

Để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m − 4)x − 2 cắt nhau thì:

m ≠ 3m − 4

$\iff$ −2m ≠ −4

$\iff$ m ≠ 2.

Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì m ≠ 2.