Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 9.

Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

A. Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

I. Đường thẳng song song.

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = 2x + 3. Nhận xét gì về hai đồ thị hàm số trên ?

Nhận xét: Ta thấy đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = 2x + 3 có a = a' = 2 và b ≠ b' (0 ≠ 3) nên hai đồ thị trên song song với nhau.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = (m - 1)x + 2 song song với nhau?

Giải:

Theo đề bài ta có: b ≠ b' vì 3 ≠ 2

Để hai đường thẳng song song thì 2 = m - 1 hay m = 3

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

II. Đường thẳng cắt nhau.

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'

Chú ý: Khi a ≠ a' và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = x + 1. Nhận xét gì về hai đồ thị trên ?

* Xét hàm số y = 2x

Cho x = 1 ta được: A(1;2)

Đồ thị hàm số y =2x đi qua O(0; 0) và A.

*Xét hàm số y = x + 1

Cho x = -1 ta được B (-1; 0)

Cho x = 1 ta được: A (1;2)

Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua A và B.

Nhận xét: Ta thấy đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = x + 1 có a ≠ a' (2 ≠ 1) nên hai đồ thị trên cắt nhau.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m - 4)x - 2 cắt nhau.

Giải:

Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì

m ≠ 3m - 4 ⇔ -2m ≠ -4 ⇔ m ≠ 2

Vậy giá trị m cần tìm là .

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là góc tọa độ và điểm A(2; 1)

Lời giải

* Đường thẳng OA đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên phương trình đường thẳng có dạng: y= ax.

Câu 2: Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x+(m+3) và y = 3x+(5-m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ?

Lời giải

Giả sử đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm A(0; a) nằm trên trục tung.

* Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x + (m + 3) nên:

a = 2.0 + (m + 3) hay a = m + 3 (1)

* Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 3x + (5 - m ) nên

a = 3.0 + (5 - m) hay a = 5 - m (2)

* Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 = 5 – m

⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1