Giải SGK Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 3 (trang 60, 61)

Cần nhớ gì trước khi làm bài tập cuối chương 3?

Chương này xoay quanh hàm số bậc hai, nên đa số bài đều quy về vài kỹ năng quen thuộc. Em nắm chắc bảng dưới đây thì mỗi bài chỉ còn là áp dụng.

Kỹ năng	Điều cần nhớ
Tập xác định	Phân thức: mẫu ≠ 0. Căn bậc hai: biểu thức trong căn ≥ 0. Căn ở mẫu: biểu thức trong căn > 0.
Parabol y = ax2 + bx + c	Đỉnh có hoành độ x = −b/(2a); trục đối xứng là đường thẳng x = −b/(2a); a > 0 bề lõm hướng lên, a < 0 bề lõm hướng xuống.
Dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c	Δ < 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x. Δ = 0: cùng dấu với a trừ tại nghiệm kép. Δ > 0: trong hai nghiệm trái dấu a, ngoài hai nghiệm cùng dấu a.
Phương trình chứa căn	Bình phương hai vế, giải phương trình bậc hai rồi thử lại nghiệm (hoặc đặt điều kiện trước).

Nếu cần ôn kỹ hơn, em xem lý thuyết tại Lý thuyết Toán 10 Chương 3 Cánh Diều.

Bài 1 trang 60: Tìm tập xác định của hàm số

Ba câu của bài 1 đại diện cho ba “kiểu điều kiện” khác nhau: mẫu khác 0, biểu thức trong căn không âm, biểu thức dưới căn ở mẫu dương.

• a) y = 1/(x² − x). Cần x² − x ≠ 0 ⇔ x(x − 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 1. Vậy D = ℝ \ {0; 1}.
• b) y = √(x² − 4x + 3). Cần x² − 4x + 3 ≥ 0. Tam thức có hai nghiệm x = 1, x = 3 và a = 1 > 0, nên dương ở ngoài hai nghiệm: x ≤ 1 hoặc x ≥ 3. Vậy D = (−∞; 1] ∪ [3; +∞).
• c) y = 1/√(x − 1). Căn nằm ở mẫu nên cần x − 1 > 0 (không lấy dấu bằng vì mẫu không được bằng 0). Vậy D = (1; +∞).

Lỗi hay gặp: ở câu b) nhiều bạn viết nhầm “1 ≤ x ≤ 3” vì quên rằng a > 0 thì tam thức chỉ âm ở giữa hai nghiệm. Ở câu c) hay lấy cả x = 1.

Xem lời giải riêng: Bài 1 trang 60.

Bài 2 trang 60: Đọc đồ thị lượng cung theo giá bán

Đồ thị cho biết lượng hàng sản xuất (cung) phụ thuộc giá bán. Trục hoành là giá bán (triệu đồng/sản phẩm), trục tung là số sản phẩm. Theo đồ thị:

• a) Giá 2 triệu đồng/sản phẩm thì lượng cung là 300 sản phẩm; giá 4 triệu đồng/sản phẩm thì lượng cung là 900 sản phẩm.
• b) Thị trường cân bằng khi cung = cầu = 600 sản phẩm. Điểm trên đồ thị có tung độ 600 ứng với hoành độ 3, nên giá bán cân bằng là 3 triệu đồng/sản phẩm.

Mẹo: với bài đọc đồ thị, luôn “gióng” từ giá trị đã biết sang đường cong rồi gióng sang trục còn lại, và ghi rõ đơn vị trong đáp số. Có thể kiểm tra nhanh: ba điểm (2; 300), (3; 600), (4; 900) cách đều nhau nên hợp lí với đồ thị đi lên đều.

Xem thêm: Bài 2 trang 60.

Bài 3 trang 60: Hàm số cho bởi nhiều công thức (gói cước Internet)

Ý tưởng: số tiền phải trả = giá một tháng × số tháng thực sự phải đóng. Khuyến mại “tặng thêm” làm giảm số tháng phải đóng.

Gói A (190 000 đồng/tháng; đóng 6 tháng tặng 1 tháng; đóng 12 tháng tặng 2 tháng):

• 1 ≤ x ≤ 6: y = 190 000·x.
• 7 ≤ x ≤ 12: chỉ cần đóng (x − 1) tháng, y = 190 000·(x − 1).
• Từ 13 tháng trở lên, đóng đủ 12 tháng được dùng 14 tháng. Sách giải viết gọn y = 190 000·(x − 2) cho 13 ≤ x ≤ 15; với x = 14 và x = 15 công thức này cho đúng số tiền cần trả (12 và 13 tháng cước).

Gói B (189 000 đồng/tháng; dùng 7 tháng trả 1 134 000 đồng, dùng 15 tháng trả 2 268 000 đồng):

• Để ý 1 134 000 = 6 × 189 000 và 2 268 000 = 12 × 189 000, nghĩa là dùng 7 tháng chỉ trả 6 tháng, dùng 15 tháng chỉ trả 12 tháng.
• 1 ≤ x ≤ 6: y = 189 000·x. Với 7 ≤ x ≤ 14: y = 1 134 000 + 189 000·(x − 7). Với x = 15: y = 2 268 000.

b) Dùng 15 tháng:

• Gói A: (15 − 2) × 190 000 = 2 470 000 đồng.
• Gói B: 2 268 000 đồng.

Vì 2 268 000 < 2 470 000 (chênh 202 000 đồng) nên gia đình bạn Minh nên chọn gói B. Lời khuyên: khi so sánh hai phương án, hãy tính ra số tiền cụ thể cho cùng một mốc thời gian, đừng chỉ nhìn giá một tháng (gói B rẻ hơn gói A chỉ 1 000 đồng/tháng nhưng tặng nhiều tháng hơn).

Xem thêm: Bài 3 trang 60.

Bài 4 trang 60: Đọc đồ thị hàm số bậc hai

Hai đồ thị trong đề lần lượt có đỉnh (1; −1) cắt trục hoành tại 0 và 2, và đỉnh (1; 4) cắt trục hoành tại −1 và 3. Hình dưới là bản vẽ minh hoạ hai parabol đó (tương ứng y = x² − 2x và y = −x² + 2x + 3).

Yêu cầu	Đồ thị (a)	Đồ thị (b)
Dấu của a	a > 0 (bề lõm lên)	a < 0 (bề lõm xuống)
Đỉnh, trục đối xứng	(1; −1), x = 1	(1; 4), x = 1
Đồng biến	(1; +∞)	(−∞; 1)
Nghịch biến	(−∞; 1)	(1; +∞)
y > 0	(−∞; 0) ∪ (2; +∞)	(−1; 3)
y ≤ 0	[0; 2]	(−∞; −1] ∪ [3; +∞)

Vì sao như vậy? Với a > 0, hàm số giảm bên trái đỉnh rồi tăng bên phải đỉnh; a < 0 thì ngược lại. Phần đồ thị nằm trên Ox cho y > 0, phần nằm dưới Ox cho y < 0; hai giao điểm với Ox chính là nghiệm của phương trình y = 0 nên “dính” dấu bằng khi hỏi y ≤ 0. Em có thể kiểm tra bằng công thức: với y = x² − 2x thì −b/(2a) = 1, y(1) = −1 đúng như đồ thị.

Xem thêm: Bài 4 trang 60.

Bài 5 trang 61: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Quy trình 4 bước cho mọi hàm bậc hai: (1) xác định dấu a để biết bề lõm; (2) tìm đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)) và trục đối xứng; (3) tìm giao điểm với Oy (x = 0) và với Ox (nếu có); (4) lấy thêm điểm đối xứng qua trục rồi nối bằng đường cong trơn.

Ví dụ tự đặt (không phải số liệu của đề): vẽ y = x² − 4x + 3. Ta có a = 1 > 0; đỉnh I(2; −1); trục x = 2; cắt Oy tại (0; 3), điểm đối xứng (4; 3); cắt Ox tại (1; 0) và (3; 0). Nối các điểm này là được parabol hướng lên.

Lời giải chi tiết các câu của đề: Bài 5 trang 61.

Bài 6 trang 61: Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai

Tính Δ, tìm nghiệm (nếu có), so sánh a với 0 rồi điền bảng. Dưới đây là ba ví dụ tự đặt đại diện cho ba trường hợp của Δ.

• f(x) = x² − 5x + 6: Δ = 1 > 0, nghiệm 2 và 3, a > 0. Vậy f(x) > 0 khi x < 2 hoặc x > 3; f(x) < 0 khi 2 < x < 3.
• f(x) = −x² + 4x − 4 = −(x − 2)²: Δ = 0, a < 0. Vậy f(x) ≤ 0 với mọi x và bằng 0 chỉ tại x = 2.
• f(x) = 2x² − x + 3: Δ = 1 − 24 = −23 < 0, a > 0. Vậy f(x) > 0 với mọi x.

Lời giải theo đề: Bài 6 trang 61.

Bài 7 trang 61: Giải bất phương trình bậc hai

Đưa về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤) với vế phải bằng 0, xét dấu f(x) rồi chọn khoảng thoả yêu cầu. Nếu hệ số a âm, nên nhân hai vế với −1 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức).

• Ví dụ: x² − 3x − 4 ≤ 0. Nghiệm −1 và 4, a > 0 nên f(x) ≤ 0 ở giữa: tập nghiệm [−1; 4].
• Ví dụ: −2x² + 5x − 2 > 0 ⇔ 2x² − 5x + 2 < 0. Nghiệm 1/2 và 2, tập nghiệm (1/2; 2). Thử x = 1: −2 + 5 − 2 = 1 > 0, đúng.

Lời giải theo đề: Bài 7 trang 61.

Bài 8 trang 61: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Có hai dạng chính, đều học ở Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai: √f(x) = √g(x) và √f(x) = g(x).

• Dạng 1 (ví dụ tự đặt): √(2x² − x + 1) = √(x² + x + 4). Bình phương: 2x² − x + 1 = x² + x + 4 ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = −1. Thử lại: x = 3 cho cả hai vế bằng √16 = 4; x = −1 cho cả hai vế bằng √4 = 2. Cả hai đều nhận, S = {−1; 3}.
• Dạng 2 (ví dụ tự đặt): √(2x + 3) = x. Bình phương: 2x + 3 = x² ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = −1. Vì vế trái ≥ 0 nên phải có x ≥ 0, loại x = −1. Thử x = 3: √9 = 3 đúng. S = {3}.
• Cái bẫy: √(x² − 3x + 4) = x − 2. Bình phương: x² − 3x + 4 = x² − 4x + 4 ⇔ x = 0. Nhưng x − 2 = −2 < 0 nên loại, phương trình vô nghiệm.

Mẹo nhớ: bình phương xong là phải thử lại, vì phép bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai. Lời giải theo đề: Bài 8 trang 61.

Bài 9 trang 61: Bài toán thực tế thiết kế đường dây điện

Bài 9 (Hình 38) mô tả kỹ sư kéo dây điện từ A đến S rồi từ S đến C trên cù lao, đơn giá mỗi đoạn khác nhau. Cách làm chung: đặt khoảng cách cần tìm là x, dùng định lí Pythagore để biểu diễn độ dài đoạn xiên theo x, lập phương trình chi phí rồi giải phương trình chứa căn. Em xem đề và lời giải đầy đủ tại Bài 9 trang 61.

Ví dụ minh hoạ tự đặt (số liệu khác đề gốc): A và B nằm trên bờ, AB = 7 km; C trên đảo, CB vuông góc AB, CB = 3 km. Điểm S nằm trên đoạn AB, SB = x (km). Chi phí là 3 triệu đồng/km đoạn AS và 5 triệu đồng/km đoạn SC. Tìm x để tổng chi phí là 34 triệu đồng.

1. AS = 7 − x, SC = √(x² + 9).
2. Phương trình: 3(7 − x) + 5√(x² + 9) = 34 ⇔ 5√(x² + 9) = 13 + 3x.
3. Vế phải dương với 0 ≤ x ≤ 7, bình phương: 25x² + 225 = 169 + 78x + 9x² ⇔ 16x² − 78x + 56 = 0 ⇔ 8x² − 39x + 28 = 0.
4. Δ = 1521 − 896 = 625, nên x = (39 + 25)/16 = 4 hoặc x = (39 − 25)/16 = 7/8.
5. Cả hai đều thuộc [0; 7]. Kiểm tra x = 4: 3·3 + 5·5 = 34 ✓. Kiểm tra x = 7/8: 3·6,125 + 5·3,125 = 18,375 + 15,625 = 34 ✓.

Vậy S cách B 4 km hoặc 0,875 km. Chú ý đọc kĩ điều kiện của đề (x nằm trong khoảng nào) rồi mới kết luận có nhận cả hai nghiệm hay không.

Lỗi sai thường gặp ở bài tập cuối chương 3

• Nhầm “ngoài hai nghiệm” với “giữa hai nghiệm” khi xét dấu tam thức.
• Quên điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0 hoặc > 0 khi tìm tập xác định.
• Giải phương trình chứa căn xong không thử lại hoặc không kiểm tra điều kiện vế phải không âm.
• Ở hàm số nhiều công thức, quên kiểm tra các điểm giao giữa hai khoảng (x = 6, 7, 12, 13…).
• Đọc đồ thị mà không ghi đơn vị, hoặc nhầm khoảng đồng biến/nghịch biến với dấu của hàm số.

Bài luyện tập có đáp án

1. Tìm tập xác định của y = √(3 − x)/(x² − 4).
   Đáp án: cần 3 − x ≥ 0 và x² − 4 ≠ 0, tức x ≤ 3 và x ≠ ±2. D = (−∞; 3] \ {−2; 2}.
2. Giải bất phương trình −x² + x + 6 ≥ 0.
   Đáp án: ⇔ x² − x − 6 ≤ 0, nghiệm −2 và 3, tập nghiệm [−2; 3].
3. Giải phương trình √(2x − 1) = x − 2.
   Đáp án: điều kiện x ≥ 2; bình phương: 2x − 1 = x² − 4x + 4 ⇔ x² − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 5. Loại x = 1 (< 2). Thử x = 5: √9 = 3 = 5 − 2. S = {5}.

Tài liệu cùng chương

• Giải Toán 10 trang 60 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 61 Tập 1
• Sách bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài ôn tập chương 3
• 30 câu trắc nghiệm Chương 3 có đáp án
• Giải SGK Toán 10 Cánh Diều

Câu hỏi thường gặp

Bài tập cuối chương 3 Toán 10 Cánh Diều có bao nhiêu bài, ở trang nào?

Có 9 bài, nằm ở trang 60 (bài 1–4) và trang 61 (bài 5–9) của sách Toán 10 Tập 1 Cánh Diều.

Khi giải phương trình chứa căn có bắt buộc phải thử lại nghiệm không?

Có, trừ khi em đã đặt đủ điều kiện (ví dụ vế phải không âm) trước khi bình phương. Bình phương hai vế có thể sinh nghiệm ngoại lai nên thử lại là cách an toàn nhất.

Làm sao xét dấu nhanh tam thức bậc hai?

Tính Δ và so sánh a với 0. Nếu Δ > 0 thì trong khoảng hai nghiệm tam thức trái dấu a, ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu a. Nếu Δ < 0 thì cùng dấu a với mọi x.

Ở bài 3, vì sao gia đình bạn Minh nên chọn gói B?

Dùng 15 tháng, gói A phải trả 13 tháng cước là 2 470 000 đồng, còn gói B chỉ trả 2 268 000 đồng, nên gói B tiết kiệm hơn.

Bài học liên quan

• Công thức cần nhớ về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy lớp 10
• Giải SGK Toán 10 Bài 3 Cánh diều: Dấu của tam thức bậc hai
• Lý thuyết giải bất phương trình bậc hai một ẩn – Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Phương pháp quy nạp toán học Toán 10 Chân trời sáng tạo: lý thuyết, bài giải
• Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt đủ 10 chương
• Giải Toán 10 Bài 8 Kết nối tri thức: Tổng và hiệu của hai vectơ