Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải:

$x-1\ge 0\iff x\ge 1$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$3x-5={\left(x-1\right)}^2$$\iff x^2-5x+6=0$$\iff [\begin{array}{l}x=2\left(TM\right)\\ x=3\left(TM\right)\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{2;3\right\}$

Bài tập

Bài 1 trang 58 Toán lớp 10: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$

b) $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$

c) $\sqrt{x+9}=2x-3$

d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$

Lời giải:

a) Bình phương hai vế ta được

$2x^2-3x-1=2x+3$

$\begin{array}{l}\iff 2x^2-5x-4=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{array}\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $2x+3\ge 0$ thì thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{5-\sqrt{57}}{4};\frac{5+\sqrt{57}}{4}\right\}$

b) Bình phương hai vế ta được

$\begin{array}{l}4x^2-6x-6=x^2-6\\ \iff 3x^2-6x=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $x^2-6\ge 0$ thì thấy chỉ có nghiệm $x=2$thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2\right\}$

c) $\sqrt{x+9}=2x-3$(*)

Ta có: $2x-3\ge 0\iff x\ge \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l}x+9={\left(2x-3\right)}^2\\ \iff 4x^2-12x+9=x+9\\ \iff 4x^2-13x=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\left(KTM\right)\\ x=\frac{13}{4}\left(TM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{13}{4}\right\}$

d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$(**)

Ta có: $2-x\ge 0\iff x\le 2$

Bình phương hai vế của (**) ta được:

$\begin{array}{l}-x^2+4x-2={\left(2-x\right)}^2\\ \iff -x^2+4x-2=x^2-4x+4\\ \iff 2x^2-8x+6=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=1\left(TM\right)\\ x=3\left(KTM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$

Lời giải:

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$$\iff \sqrt{2-x}=3-2x$  (1)

Ta có: $3-2x\ge 0\iff x\le \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (1) ta được:

$\begin{array}{l}2-x={\left(3-2x\right)}^2\\ \iff 2-x=9-12x+4x^2\\ \iff 4x^2-11x+7=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=1\left(TM\right)\\ x=\frac{7}{4}\left(KTM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$$\iff \sqrt{-x^2+7x-6}=4-x$  (2)

Ta có: $4-x\ge 0\iff x\le 4$

Bình phương hai vế của (2) ta được:

$\begin{array}{l}-x^2+7x-6={\left(4-x\right)}^2\\ \iff -x^2+7x-6=16-8x+x^2\\ \iff 2x^2-15x+22=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=2\left(TM\right)\\ x=\frac{11}{2}\left(KTM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2\right\}$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: $AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}$$=\sqrt{0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2}$ (km)

Thời gian đi từ A đến D là: $\frac{\sqrt{0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2}}{6}\left(h\right)$

Thời gian đi từ D đến B là: $\frac{0,8-x}{10}\left(h\right)$

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2}}{6}+\frac{0,8-x}{10}=0,12\\ \iff \sqrt{0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2}.5+3.\left(0,8-x\right)=0,12.30\\ \iff 5.\sqrt{0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2}-3x-1,2=0\\ \iff 5.\sqrt{0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2}=3x+1,2\\ \iff 25.\left[0,3^2+{\left(0,8-x\right)}^2\right]={\left(3x+1,2\right)}^2\\ \iff 25.\left(x^2-1,6x+0,73\right)=9x^2+7,2x+1,44\\ \iff 16x^2-47,2x+16,81=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{59+30\sqrt{2}}{40}>0,8\left(ktm\right)\\ x=\frac{59-30\sqrt{2}}{40}\approx 0,414\left(tm\right)\end{array}\end{array}$

Ta bình phương được do $x>0\Rightarrow 3x+1,2>0$

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

Lời giải:

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}$$=\sqrt{16+x^2}\left(km\right)$

Thời gian từ A đến M là: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}\left(h\right)$

Thời gian từ M đến C là: $\frac{7-x}{5}\left(h\right)$

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}\\ \iff \frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{37}{15}\\ \iff \frac{5\sqrt{16+x^2}}{15}+\frac{3.\left(7-x\right)}{15}=\frac{37}{15}\\ \iff 5\sqrt{16+x^2}+3.\left(7-x\right)=37\\ \iff 5\sqrt{16+x^2}=16+3x\\ \iff 25.\left(16+x^2\right)=9x^2+96x+256\\ \iff 16x^2-96x+144=0\\ \iff x=3\left(tm\right)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.

Lý thuyết Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

I. Giải phương trình có dạng $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$ (I)

(f(x) = ax² + bx + c và g(x) = mx² + nx + p với a ≠ m)

Để giải phương trình (I) ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) rồi tìm nghiệm của phương trình này

Bước 2: Thay từng nghiệm của phương trình f(x) = g(x) vào bất phương trình

f(x)  ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0. Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.

Bước 3: Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I)

Chú ý:

– Trong hai bất phương trình f(x)  ≥ 0 và g(x) ≥ 0 ta thường chọn bất phương trình dạng đơn giản để thực hiện bước 2.

– Người ta chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}=\sqrt{\mathrm{x}-2}$ (1)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được: ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2$ = x – 2 (2)

Ta có: (2) ⇔ ${\mathrm{x}}^2$– 4x + 4 = ${(\mathrm{x}-2)}^2$= 0

Do đó, phương trình (2) có nghiệm là x = 2.

Thay lần giá trị trên vào bất phương trình x – 2 ≥ 0, ta thấy x = 2 thoả mãn bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2.

II. Giải phương trình có dạng $\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ (II)

(f(x) = a${\mathrm{x}}^2$+ bx + c và g(x) = dx + e với a ≠ ${\mathrm{d}}^2$)

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình g(x)  ≥ 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình dẫn đến phương trình f(x) = ${\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]}^2$ rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f(x) = ${\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]}^2$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình g(x) ≥ 0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3}$= x – 1

Hướng dẫn giải

Ta có: x – 1 ≥ 0 ⇔ x  ≥ 1

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: ${\mathrm{x}}^2$ – 4x + 3 = ${(\mathrm{x}-1)}^2$

⇔ x² – 4x + 3 = x² – 2x + 1 ⇔ – 2x + 2 = 0.

Phương trình có hai nghiệm là x = 1, giá trị x = 1 là thoả mãn x ≥ 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

Bài giảng Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác