Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 Cánh diều

ndiep Ngày: 31-01-2023 Lớp 10

270

Với Giải Toán lớp 10 trang 61 Tập 1 Cánh diều tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 Cánh diều

Bài 5 trang 61 Toán lớp 10: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) $y = x^{2} - 3 x - 4$

b) $y = x^{2} + 2 x + 1$

c) $y = - x^{2} + 2 x - 2$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh $(\frac{- b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$

Bước 3: Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn giao điểm với trục tung (0;c) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Bước 4: Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$

Lời giải:

a) $y = x^{2} - 3 x - 4$

Đồ thị hàm số có đỉnh $I (\frac{3}{2}; - \frac{25}{4})$

Trục đối xứng là $x = \frac{3}{2}$

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-4)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0) và (4;0)

Điểm đối xứng với điểm (0;-4) qua trục đối xứng $x = \frac{3}{2}$ là (3;-4)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

Bài 5 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 3)

b) $y = x^{2} + 2 x + 1$

Đồ thị hàm số có đỉnh $I (- 1; 0)$

Trục đối xứng là $x = - 1$

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0)

Điểm đối xứng với điểm (0;1) qua trục đối xứng $x = - 1$ là (-2;1)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

Bài 5 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 2)

c) $y = - x^{2} + 2 x - 2$

Đồ thị hàm số có đỉnh $I (1; - 1)$

Trục đối xứng là $x = 1$

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-2)

Điểm đối xứng với điểm (0;-2) qua trục đối xứng $x = 1$ là (2;-2)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

Bài 5 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Bài 6 trang 61 Toán lớp 10: Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 1$

b) $f (x) = x^{2} - x - 12$

c) $f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của $f (x) = 0$ và hệ số a.

Bước 2: Lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 1$

$a = - 3 < 0$ , $Δ = 4^{2} - 4. (- 3) . (- 1) = 4 > 0$

=> $f (x)$ có 2 nghiệm $x = \frac{1}{3}, x = 1$

Bảng xét dấu:

b) $f (x) = x^{2} - x - 12$

$a = 1 > 0$ , $Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1. (- 12) = 49 > 0$

=> $f (x)$ có 2 nghiệm $x = - 3, x = 4$

Bảng xét dấu:

c) $f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$

$a = 16 > 0$ , $Δ^{'} = 12^{2} - 16.9 = 0$

=> $f (x)$ có nghiệm duy nhất $x = - \frac{3}{4}$

Bảng xét dấu:

Bài 7 trang 61 Toán lớp 10: Giải các bất phương trình sau:

a) $2 x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$

b) $- 3 x^{2} + x + 1 > 0$

c) $4 x^{2} + 4 x + 1 \geq 0$

d) $- 16 x^{2} + 8 x - 1 < 0$

e) $2 x^{2} + x + 3 < 0$

g) $- 3 x^{2} + 4 x - 1 < 0$

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình dạng $f (x) > 0$ .

Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của $f (x)$ (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho $f (x)$ mang dấu “+”

Bước 3: Các bất phương trình bậc hai có dạng $f (x) < 0, f (x) \geq 0, f (x) \leq 0$ được giải bằng cách tương tự.

Lời giải:

a) $2 x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ có 2 nghiệm phân biệt $x = - 1, x = \frac{- 1}{2}$

hệ số $a = 2 > 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq - \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; - 1] \cup [- \frac{1}{2}; + \infty)$

b) $- 3 x^{2} + x + 1 > 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = - 3 x^{2} + x + 1$ có 2 nghiệm phân biệt $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}, x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Hệ số $a = - 3 < 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) > 0$ $\Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}; \frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

c) $4 x^{2} + 4 x + 1 \geq 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1$ có nghiệm duy nhất $x = \frac{- 1}{2}$

hệ số $a = 4 > 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in R$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $R$

d) $- 16 x^{2} + 8 x - 1 < 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = - 16 x^{2} + 8 x - 1$ có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{4}$

hệ số $a = - 16 < 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f (x) < 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $R ∖ {\frac{1}{4}}$

e) $2 x^{2} + x + 3 < 0$

Ta có $Δ = 1^{2} - 4.2.3 = - 23 < 0$ và có $a = 2 > 0$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $2 x^{2} + x + 3$ mang dấu “-” là $\emptyset$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2 x^{2} + x + 3 < 0$ là $\emptyset$

g) $- 3 x^{2} + 4 x - 5 < 0$

Tam thức bậc hai $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 5$ có $Δ^{'} = 2^{2} - (- 3) . (- 5) = - 11 < 0$ và có $a = - 3 < 0$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $- 3 x^{2} + 4 x - 5$ mang dấu “-” là $R$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- 3 x^{2} + 4 x - 5 < 0$ là $R$

Bài 8 trang 61 Toán lớp 10: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x + 2} = x$

b) $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 2} = \sqrt{x^{2} + x + 6}$

c) $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 1} = x + 3$

Phương pháp giải:

Phương trình dạng $\sqrt{f (x)} = \sqrt{g (x)}$

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 2: Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $g (x) \geq 0$ . Nghiệm nào thỏa mãn thì giữ lại, không thỏa mãn thì loại.

Bước 3: Kết luận nghiệm

Phương trình có dạng $\sqrt{f (x)} = g (x) (I I)$

Bước 1. Giải bất phương trình $g (x) \geq 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình rồi tìm tập nghiệm.

Bước 3. Trong những nghiệm của phương trình ở bước 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $g (x) \geq 0$ . Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) $\sqrt{x + 2} = x$

Điều kiện: $x \geq 0$

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

$x + 2 = x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$

b) $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 2} = \sqrt{x^{2} + x + 6}$

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + 3 x - 2 = x^{2} + x + 6 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 4 \end{array} \end{array}$

Thay vào bất phương trình $2 x^{2} + 3 x - 2 \geq 0$ ta thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm là $S = {- 4; 2}$

c) $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 1} = x + 3$

Điều kiện: $x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 3$

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + 3 x - 1 = {(x + 3)}^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 10 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 (t m) \\ x = 5 (t m) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm là $S = {- 2; 5}$

Bài 9 trang 61 Toán lớp 10: Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S và từ vị trí S đến vị trí C trên cù lao như Hình 38. Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S và từ S đến C lần lượt là 3 triệu đồng và 5 triệu đồng. Biết tổng số tiền công là 16 triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.

Bài 9 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ A đến S là x (km) (0<x<4)

$\Rightarrow B S = 4 - x$ (km)

$\Rightarrow C S = \sqrt{C B^{2} + B S^{2}}$ $= \sqrt{1 + (4 - x^{2})}$ (km)

Tổng số tiền từ A đến C là:

$3. S A + 5. S C = 3. x + 5. \sqrt{1 + {(4 - x)}^{2}}$ (triệu đồng)

Khi đó ta có phương trình:

$3. x + 5. \sqrt{1 + {(4 - x)}^{2}} = 16$

$\Leftrightarrow 5 \sqrt{1 + {(4 - x)}^{2}} = 16 - 3 x$

$\begin{array}{l} 25. (x^{2} - 8 x + 17) = {(16 - 3 x)}^{2} \\ \Leftrightarrow 25 x^{2} - 200 x + 425 = 256 - 96 x + 9 x^{2} \\ \Leftrightarrow 16 x^{2} - 104 x + 169 = 0 \\ \Leftrightarrow x = \frac{13}{4} (t m) \end{array}$