a) $\{\begin{array}{l}3x+2y\ge -6\\ x+4y>4\end{array}$  $\left(0;2\right),\left(1;0\right)$

b) $\{\begin{array}{l}4x+y\le -3\\ -3x+5y\ge -12\end{array}$  $\left(-1;-3\right),\left(0;-3\right)$

Lời giải:

a) Thay $x=0,y=2$ vào hệ $\{\begin{array}{l}3x+2y\ge -6\\ x+4y>4\end{array}$ ta được:

$\{\begin{array}{l}3.0+2.2\ge -6\\ 0+4.2>4\end{array}$ (Đúng)

Thay $x=1,y=0$ vào hệ $\{\begin{array}{l}3x+2y\ge -6\\ x+4y>4\end{array}$ ta được:

$\{\begin{array}{l}3.1+2.0\ge -6\\ 1+4.0>4\left(Sai\right)\end{array}$

Vậy $\left(0;2\right)$ là nghiệm của hệ còn $\left(1;0\right)$ không là nghiệm.

b) Thay $x=-1,y=-3$ vào hệ $\{\begin{array}{l}4x+y\le -3\\ -3x+5y\ge -12\end{array}$ ta được:

$\{\begin{array}{l}4.\left(-1\right)+\left(-3\right)\le -3\\ -3\left(-1\right)+5.\left(-3\right)\ge -12\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}-7\le -3\\ -12\ge -12\end{array}$ (Đúng)

Thay $x=0,y=-3$ vào hệ $\{\begin{array}{l}4x+y\le -3\\ -3x+5y\ge -12\end{array}$ ta được:

$\{\begin{array}{l}4.0+\left(-3\right)\le -3\\ -3.0+5.\left(-3\right)\ge -12\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}-3\le -3\\ -15\ge -12\left(Sai\right)\end{array}$

Vậy $\left(-1;-3\right)$ là nghiệm của hệ còn $\left(0;-3\right)$ không là nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Xác định các đường thẳng dạng trên mỗi hình.

Với các đường thẳng x=a, nếu phần không bị gạch bên phải thì bất phương trình tương ứng là $x<a$ hoặc $x\le a$, ngược lại sẽ là $x>a$ hoặc $x\ge a$.

Với các đường thẳng y=b, nếu phần không bị gạch bên trên thì bất phương trình là $y>b$ hoặc $y\ge b$, ngược lại sẽ là $y<b$ hoặc $y\le b$.

Với các đường thẳng $y=ax+b$ cắt hai trục thì thay tọa độ điểm thuộc miền nghiệm vào, nếu vế trái nhỏ hơn vế phải thì bất phương trình là $y<ax+b$ hoặc $y\le ax+b$, ngược lại thì bất phương trình là $y>ax+b$ hoặc $y\ge ax+b$.

Lời giải:

Bước 1: Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất lần lượt là $x$ và $y$ $\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$. Biểu diễn các đại lượng khác theo $x$ và $y$.

Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất lần lượt là $x$ và $y$ $\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$.

Theo giả thiết, thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có $0\le x\le 200;0\le y\le 240$

Thời gian làm $y$ chiếc kiểu 2 trong một ngày là $\frac{y}{60}\left(h\right)$

Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian làm mũ thứ nhất là 1 giờ làm được 30 chiếc.

Thời gian làm $x$ chiếc kiểu 1 trong một ngày là $\frac{x}{30}\left(h\right)$

Tổng thời gian làm trong một ngày là 8h nên ta có:

$\frac{x}{30}+\frac{y}{60}=8$

Bước 2: Lập hệ bất phương trình.

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm.

Miền biểu diễn miền nghiệm là phần màu vàng:

Bước 4: Tìm $x$ và $y$ để tiền lãi cao nhất.

Từ miền nghiệm ta thấy tiền lãi cao nhất tại khi điểm $\left(x;y\right)$ là một trong các đỉnh của tam giác màu vàng:

$T=24x+15y$

$T\left(0;240\right)=15.240=3600$ (nghìn đồng)

$T\left(120;0\right)=24.120=2880$(nghìn đồng)

Số lượng mũ kiểu 1 là 240 và số lượng mũ kiểu 2 là 0

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là một hệ gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+y>0\left(1\right)\\ x-3y<6\left(2\right)\end{array}\right.$.

Cặp số (x ; y) nào trong các cặp (3; 1), (– 1; 0), (4; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình trên?

Hướng dẫn giải:

+ Thay x = 3, y = 1 vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

2 . 3 + 1 = 7 > 0 là mệnh đề đúng;      

3 – 3 . 1 = 0 < 6 là mệnh đề đúng.

Vậy (3; 1) là nghiệm chung của (1) và (2), do đó là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Thay x = – 1, y = 0 vào bất phương trình (1), ta có:

2 . (– 1) + 0 = –2 > 0 là mệnh đề sai;  

(– 1) – 3 . 0 = –1 < 6 là mệnh đề đúng.

Vậy (– 1; 0) không là nghiệm của (1), do đó không phải nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Thay x = 4, y = –1 vào bất phương trình (2) của hệ, ta có:

2 . 4 + (– 1) = 7  > 0 là mệnh đề đúng;         

4 – 3 . (– 1) = 7 < 6 là mệnh đề sai.

Vậy (4 ; – 1) không là nghiệm của (2), do đó không phải nghiệm của hệ bất phương trình.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

• Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau:

+ Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

Ví dụ: Biểu diễn trên mặt phẳng Oxy miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$\left(H\right)\left\{\begin{array}{l}x+y<-2\left(1\right)\\ x-y\le 1\left(2\right)\\ 2x-y>-1\left(3\right)\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

+ Vẽ 3 đường thẳng

d₁: x + y = –2,

d₂: x – y = 1

d₃: 2x – y = –1.

+ Toạ độ điểm (0; 0) là nghiệm của các bất phương trình (2) và (3), không phải nghiệm của bất phương trình (1).

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch kể cả đường thẳng d₂ và không kể đường thẳng d₁ và d­₃.

3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Bài toán. Một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều, với số vốn ban đầu không quá 1,2 tỉ đồng.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng, em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Giả sử cửa hàng nhập về x máy điều hoà hai chiều và y máy điều hoà một chiều (x ≥ 0, y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ^*).

Vì nhu của thị trường không quá 100 máy cả hai loại nên x + y ≤ 100.

Số tiền để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng như trên là: 20x + 10y (triệu đồng).

Số tiền đầu tư tối đa là 1,2 tỉ đồng = 1 200 triệu đồng nên ta có 20x + 10y ≤ 1200 hay 2x + y ≤ 120.

Từ đó thu được hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 100\\ 2x+y\le 120\end{array}\right.$với x, y ∈ ℕ^*.

Lợi nhuận thu được khi bán x máy điều hoà hai chiều và y máy điều hoà một chiều là:

T = 3,5x + 2y (triệu đồng).

Bài toán được đưa về: Tìm giá trị x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) sao cho T đạt giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh O(0 ; 0), A(0 ; 100), B(20 ; 80), C(60 ; 0).

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 3,5x + 2y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC.

Lần lượt thay toạ độ các điểm O, A, B, C vào biểu thức T, ta được:

Với x = 0, y = 0 thì T = 3,5.0 + 2.0 = 0;

Với x = 0, y = 100 thì T = 3,5.0 + 2.100 = 200;

Với x = 20, y = 80 thì T = 3,5.20 + 2.80 = 230;

Với x = 60, y = 0 thì T = 3,5.60 + 2.0 = 21.

Ta thấy giá trị lớn nhất là  T = 230 khi x = 20 và y = 80.

Vậy cửa hàng cần đầu tư 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để thu được lợi nhuận lớn nhất.

• Tổng quát: Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức bậc nhất F(x , y) = ax + by trong miền đa giác A₁A₂…A_n là giá trị của F(x , y) tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Bài giảng Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Cánh diều