Với giải sách bài tập Toán 10 Bài ôn tập chương 4 sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài ôn tập chương 4

Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1

Bài 67 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)² bằng:

A. 2.

B. tan²α + cot²α.

C. 1.

D. sinα + cosα.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có: (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)²

= (sinα.$\frac{\text{cos}\alpha }{\sin \alpha }$)² + (cosα.$\frac{\text{sin}\alpha }{cos\alpha }$)²

= cos²α + sin²α

= 1.

Bài 68 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\text{cos}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Bài 69 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Biểu thức $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}$ bằng:

A. CD².

B. 0.

C. .

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} \\ =\overrightarrow{CD}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right) \end{gathered}$$

$=\overrightarrow{CD}.\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{0}=0$

Bài 70 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng:

A. tanα + cotα.

B. tan²α

C. 1.

D. tan²α + cot²α.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

tanα . tan(90°– α)

= tanα . cotα

= 1.

Bài 71 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho α thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{3}{5}$. Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau:

a) 0° < α < 90°;

b) 90° < α < 180°;

Lời giải:

Ta có: 

a) Vì 0° < α < 90° nên $cos\alpha =\frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

b) Vì 90° < α < 180° nên $cos\alpha =-\frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

Giải SBT Toán 10 trang 107 Tập 1

Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\widehat{BAC}=60°$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

c) Diện tích của tam giác ABC;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}$ với M là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos$\widehat{BAC}$

       = 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

       = 4² + 6² – 24

       = 28

⇔ BC = $\sqrt{28}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

⇔ $\sin B=\frac{6.\sin 60°}{\sqrt{28}}\approx 0,98$

⇔ $\widehat{B}\approx 79°$.

Vậy BC = $\sqrt{28}$ và $\widehat{B}\approx 79°$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R$

⇔ $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{28}}{2\sin 60°}\approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

c) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC} \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.4.6.}\sin 60°=6\sqrt{3}\left(đvdt\right) \end{gathered}$$

Vậy diện tích của tam giác ABC là $6\sqrt{3}$ (đvdt).

d) Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}.\sqrt{28}.AH$

Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là $6\sqrt{3}$

Do đó ta có: $\frac{1}{2}.\sqrt{28}.AH=6\sqrt{3}$

⇔ $AH=\frac{2.6\sqrt{3}}{\sqrt{28}}\approx 4$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.

e) Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \\ =\mathrm{4.6.}\cos 60°=12. \end{gathered}$$ 

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AC} \\ =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}.{\overrightarrow{AC}}^2 \\ =\frac{1}{2}.12+\frac{1}{2}{.6}^2=24 \end{gathered}$$

Vậy  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=12$ và $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}=24$.

Bài 73 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2\right)$.

Lời giải:

Ta có: 

Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) $\sin \widehat{ABC}$;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

$$\begin{gathered} \text{cos}\widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB.BC} \\ =\frac{5^2+6^2-7^2}{\mathrm{2.5.6}}=\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Ta có: ${\text{cos}}^2\widehat{ABC}+{\sin }^2\widehat{ABC}=1$

⇔ ${\sin }^2\widehat{ABC}=1-{\text{cos}}^2\widehat{ABC}=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$

Vì $\widehat{ABC}$ là góc trong tam giác nên $0°<\widehat{ABC}<180°$

⇒ $\sin \widehat{ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Vậy $\sin \widehat{ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat{ABC} \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.5.6.}\frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}\left(đvdt\right) \end{gathered}$$

Vậy diện tích tam giác ABC là $6\sqrt{6}$

c) Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM² = 5² + 3² – 2.5.3.

⇔ AM² = 28

⇔ AM = $2\sqrt{7}$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là $2\sqrt{7}$.

Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=k\overrightarrow{IB}$. Chứng minh với O là điểm bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\left(\frac{1}{1-k}\right)\overrightarrow{OA}-\left(\frac{k}{1-k}\right)\overrightarrow{OB}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{IA}=k\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{IA}-k\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, $\widehat{BAC}=120°$. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ và chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \\ =\mathrm{4.5.}c\text{os120}°=-10 \end{gathered}$$

Ta lại có: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

⇒$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$.\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}{\overrightarrow{AC}}^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}{.4}^2+\frac{1}{5}(-10)$$-\frac{1}{2}(-10)+\frac{1}{5}{.5}^2=0$

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-10$ và AM vuông góc BD.

Bài 77 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°$

⇒ $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right)$$=180°-\left(35°+115°\right)=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}$

⇔$\frac{50}{\sin 30°}=\frac{BC}{\sin 35°}$

⇔$BC=\frac{50\sin 35°}{\sin 30°}\approx 57,36$

Xét tam giác CHB vuông tại B, có:

$$\begin{gathered} \sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC} \\ \iff CH=\sin \widehat{CBH}.BC \\ \approx \sin 65°.57,36\approx 51,98 \end{gathered}$$.

Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.

Bài 78 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=4,\left|\overrightarrow{b}\right|=5,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=135°$. Tính $\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right) \\ =2{\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^2 \\ =2{\overrightarrow{a}}^2+3\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^2 \end{gathered}$$

$=2{\overrightarrow{a}}^2+3\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)-2{\overrightarrow{b}}^2$

$$\begin{gathered} ={2.4}^2+\mathrm{3.4.5.}cos135°-{2.5}^2 \\ =-18-30\sqrt{2} \end{gathered}$$

Giải SBT Toán 10 trang 108 Tập 1

Bài 79 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: a) Chứng minh đẳng thức ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ bất kì.

b) Cho $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{7}$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

a) 

$$\begin{gathered} {\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2 \\ ={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

b) Áp dụng công thức trên ta được:

Mặt khác ta lại có: 

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-3$ và $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=120°$.

Bài 80 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}=0$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}$

= $\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right).$$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{AB}$

= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}$

= $\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}\right)+$$\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}\right)+$$\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}\right)$

= 0

Bài 81 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0$. Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Lời giải:

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=$$\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)$$.\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔$\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).$$\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔$\left(2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(2\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔$4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\widehat{\text{IMJ}}=90°$

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.

Bài 82 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Xét biểu thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+$$\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{MG}$

⇒$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|$

Do đó để biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\left|3\overrightarrow{MG}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất và MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.

Vậy để $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm M là hình chiếu vuông góc của G trên đường thẳng d.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 3: Tổ hợp

Lý thuyết Toán 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1.1 Định nghĩa

       

Với mỗi góc α (0 ≤ α ≤ 180°) ta xác định một điểm M (x₀, y₀) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc $\widehat{\mathrm{xOM}}$= α. Khi đó ta có định nghĩa:

+) sin của góc α, kí hiệu là sinα, được xác định bởi: sinα = y₀;

+) côsin của góc α, kí hiệu là cosα, được xác định bởi: cosα = x₀;

+) tang của góc α, kí hiệu là tanα, được xác định bởi: tanα = $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$(x₀ ≠ 0);

+) côtang của góc α, kí hiệu là cotα, được xác định bởi: cotα = $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$(y₀ ≠ 0).

Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Chú ý:

tanα = $\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}$(α ≠ 90°);

cotα = $\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}$(0 < α < 180°).

sin(90° – α) = cosα (0° ≤ α ≤ 90°);

cos(90° – α) = sinα (0° ≤ α ≤ 90°);

tan(90° – α) = cotα (0° ≤ α ≤ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° ≤ α ≤ 90°).

1.2. Tính chất

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu $\widehat{\mathrm{xOM}}$ = α thì $\widehat{\mathrm{xON}}$ = 180^o – α. Với 0° ≤ α ≤ 180° thì:

sin(180° – α) = sinα,

cos(180° – α) = – cosα,

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°),

cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°).

1.3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Chú ý: Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác:

– Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.

2. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a² = b² + c² – 2bccosA,

b² = c² + a² – 2cacosB,

c² = a² + b² – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = $\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}$,

cosB = $\frac{{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}{2\mathrm{ca}}$,

cosC = $\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2\mathrm{ab}}$.

3. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Khi đó:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$

Lưu ý:

a = 2RsinA,

b = 2RsinB,

c = 2RsinC.

4. Tính diện tích tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$bc.sinA = $\frac{1}{2}$ca.sin = $\frac{1}{2}$ab.sinC

Công thức Heron:

Công thức toán học Heron được sử dụng để tính diện tích của một tam giác theo độ dài ba cạnh như sau:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

$\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC.

5. Vectơ

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ được vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Đối với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, ta gọi:

– Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

– Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$.

Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{x}}$, $\overrightarrow{\mathrm{y}}$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ 

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$ = 5.

6. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Định nghĩa:

– Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

– Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

7. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}.$ 

Nhận xét:

– Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Khi cho trước vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}.$ 

8. Vectơ–không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{0}\right|$ và được gọi là vectơ – không.

Định nghĩa: Vectơ–không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$

Ta quy ước $\overrightarrow{0}$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ và $\left|\overrightarrow{0}\right|$ = 0.

Nhận xét: Hai điểm A, B trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\overrightarrow{0}$.

9. Tổng của hai vectơ

9.1. Định nghĩa

– Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

9.2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

9.3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (tính chất giao hoán) ;

($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$) (tính chất kết hợp);

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$ + $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (tính chất của vectơ–không).

Chú ý: Tổng ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ được xác định theo một trong hai cách sau:

($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{c}}$).

10. Hiệu của hai vectơ

10.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, kí hiệu là –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{0}$ là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Nhận xét:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + (–$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) = (–$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) + $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$

+) Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{0}$.

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{0}$.

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ là hai vectơ đối nhau, tức là $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$  

Chú ý:

– I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}=\overrightarrow{0}$.

– G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$.

10.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, là tổng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, tức là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + (–$\overrightarrow{\mathrm{b}}$).

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.

11. Tích của vectơ với một số

Cho một số k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ≠ $\overrightarrow{0}$. Tích của một số k với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ là một vectơ, kí hiệu là k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$, được xác định như sau:

+ cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k < 0;

+ có độ dài bằng $\left|\mathrm{k}\right|$.$\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$

Quy ước: 0$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$, k$\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$; k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$;

+) (h + k)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = h$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) h(k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) = (hk)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) 1$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$; (–1)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Nhận xét: k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

– Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ với điểm M bất kì.

– Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=3\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ với điểm M bất kì.

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

12. Tích vô hướng của hai vectơ

12.1. Tích vô hướng của hai vectơ có chung điểm đầu

– Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$

– Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ là một số thực, kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}.\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$.

12.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Định nghĩa:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ khác $\overrightarrow{0}.$ Lấy một điểm O và vẽ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (Hình vẽ).

+ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

+ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là một số thực được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$.

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\overrightarrow{0}$ là số 0.

Chú ý:

+) $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)$

+) Nếu $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$ = 90° thì ta nói hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ⊥ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$. Khi đó $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|.\cos 90°$= 0.

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

12.3. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và số thực k tùy ý, ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}$ (tính chất phân phối);

+) $\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$;

+) ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ ≥ 0, ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ = 0 ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.