Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 (Chân trời sáng tạo)

2.4 K

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Giải SBT Toán 10 trang 101 Tập 1

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ AC là:

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Chọn đáp án A.

Bài 2 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Các vectơ bằng vectơ OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: ABED.

Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Theo quy tắc ba điểm ta có: AB+CA=CB.

Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định A, B, D sai.

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là C

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB = 0 hay IA=IB.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có:

GA=2GI. Khẳng định A sai.

IG=13IA. Khẳng định B sai.

I là trung điểm của BC nên GB+GC=2GI=GA. Khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 102 Tập 1

Bài 6 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)( vì Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)). Vậy khẳng định A đúng. Khẳng định C sai.

Ta có: Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1). Do đó khẳng định B sai.

Ta lại có: Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1). Do đó khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC. Đặt a=BCb=AC. Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có thể thấy:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Như vậy Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) và Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) là cặp vectơ cùng phương.

Bài 8 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A và có B^ = 50°. Khẳng định nào sau đây là sai?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: AB,BC=BA,BC=BA,BC là góc kề bù với ABC^ 

 AB,BC = 180° – 50° = 130°. Khẳng định A đúng.

BC,AC CB,CA ACB^ = 90° – 50° = 40°. Khẳng định B đúng.

AB,CB BA,BC ABC^ = 50°. Khẳng định C đúng.

AC,CB=CA,CB=CA,CB là góc kề bù với ACB^ 

 AC,CB = 180° – 40° = 140°. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 9 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 nên Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) = cos0° = 1.

Vậy Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1). Đáp án A đúng.

Bài 10 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do AB  AC nên Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta lại có Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) (vì B^ là góc nhọn nên cosB^ > 0). Do đó AB.AC<BA.BC.

Khẳng định A đúng.

AC,CB=CA,CB=CA,CB là góc tù nên AC.CB=AC.CB.cosAC.CB < 0;

AC.BC​ là góc nhọn nên AC.BC=AC.BC.cosAC.BC> 0. Suy ra AC.CB<AC.BC. Khẳng định B đúng.

AB,BC=BA,BC=BA,BC là góc tù nên AB.BC < 0; CA.CB là góc nhọn nên CA.CB > 0. Suy ra AB.BC<CA.CB. Khẳng định C đúng.

AC.BC là góc nhọn nên AC.BC > 0; BC.AB là góc tù nên BC.AB < 0. Suy ra AC.BC>BC.AB.

Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

B. Tự luận

Bài 1 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai vectơ AB và AC:

a) cùng hướng?

b) ngược hướng?

Lời giải:

a) Hai vectơ AB và AC cùng hướng khi B nằm giữa A và C.

b) Hai vectơ AB và AC ngược hướng khi A nằm giữa B và C.

Bài 2 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.

Lời giải:

Trong ba vectơ Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) chọn hai vectơ tùy ý:

- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm.

- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn.

Bài 3 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vectơ AH và B'CAB' và HC.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Do BB’ là đường kính nên BCB'^ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

 BC  B’C.

H là trực tâm tam giác ABC nên BC  AH.

Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC ).

Do BB’ là đường kính nên BAB'^= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

 BA  B’A.

H là trực tâm tam giác ABC nên CH  BA.

Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA ).

Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương a và b, ta có: ab<a+b<a+b.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1). Ta có Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

OAAB ≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra  ab<a+b<a+b.

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: OA+OB+OC+OD+OE=0.

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

Đặt u OA+OB+OC+OD+OE

Ta có: u OA+OB+OE+OC+OD

Do OA nằm trên đường phân giác của BOE^ và DOC^ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ OB+OE và OC+OD nằm trên đường thẳng OA, suy ra u nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có u cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy u 0

Vậy  Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: OA+OB+OC=OA'+OB'+OC'.

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên AB AA'.

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên BC BB'.

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên CA CC'.

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vậy OA+OB+OC=OA'+OB'+OC'.

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) AB+AC=ABAC;

b) Vectơ AB+AC vuông góc với vectơ AB+CA.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ AB+ACvuông góc với vectơ AB+CA  AB+AC.AB+CA = 0

hay AB+AC.AB-AC 0.

Suy ra AB – AC2 = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ AB+AC vuông góc với vectơ AB+CA khi tam giác ABC cân tại A.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) ACBC=DC;

b) DB=kDC+DA.

Lời giải:

a) Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) ABCD là hình bình hành.

b) Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: MA = NB và hai vectơ MANB cùng phương, ngược chiều  MA + NB = 0

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho OM'=kOMON'=kON. Chứng minh rằng: M'N'=kMN.

Lời giải:

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vậy Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1).

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) có độ dài bằng nhau và Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1). Tính các góc AOB^BOC^COA^.

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

 AB = BC = CA.

Như vậy AOB^ BOC​^COA^ 360°3 = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

N là trung điểm của AB nên Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Tương tự ta có: Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1) và Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

và Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Lý thuyết Chương 5: Vectơ

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB
, đọc là vectơ AB.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ AB.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của AB và được kí hiệu là AB. Như vậy ta có AB=AB.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là a,  b,  x,  y,...

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, ta có:

+) MN có giá là đường thẳng MN, PQ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.

Do đó MN và PQ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

+) Ta có: EF có giá là đường thẳng EF, GH có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.

Do đó EF và GH là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.

Chú ý:

Trong hình trên, hai vectơ MN và PQ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói MN và PQ là hai vectơ cùng hướng.

+ Hai vectơ EF và GH cùng phương nhưng ngược hướng với nhau (EF có hướng từ trên xuống dưới và GH có hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ EF và GH là hai vectơ ngược hướng.

Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.

Giải thích: Ta thấy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và AC có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. Ngược lại, nếu hai vectơ AB và AC cùng phương thì ta suy ta hai đường thẳng AB và AC phải song song hoặc trùng nhau. Mà hai đường thẳng này có điểm A là điểm chung, do đó đường thẳng AB và AC trùng nhau. Khi đó ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng. Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a=b.

Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a=b. Khi đó vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a.

Chú ý:

+ Cho vectơ a và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA=a. Khi đó độ dài của a là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là a.

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có NM=MN.

4. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là 0.

Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: 0=AA=BB=CC=..., với mọi điểm A, B, C,...

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.

5. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho AB=a,  BC=b. Khi đó AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b và được kí hiệu là a+b.

Vậy a+b=AB+BC=AC.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có MN+NP=MP.

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có OA+OB=OC.

6. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: a+b=b+a.

+ Tính chất kết hợp: a+b+c=a+b+c.

+ Với mọi a, ta luôn có: a+0=0+a=a.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ a,  b,  c ,kí hiệu là a+b+c với a+b+c=a+b+c.

Chú ý: Cho vectơ tùy ý a=AB.

Ta có a+a=AB+AB=AB+BA=AA=0.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: a+a=0.

7. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b. Hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a+b và kí hiệu là ab.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:OBOA=AB.

8. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA+MB=0.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

9. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và a0. Tích của số k với a0 là một vectơ, kí hiệu là ka.

Vectơ ka cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k.a.

Ta quy ước 0a=0 và k0=0.

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Tính chất:

 Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) ka+b=ka+kb;

+) h+ka=ha+ka;

+) hka=hka;

+) 1.a=a;

+) 1.a=a.

10. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ a và b (b0) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a=kb.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để AB=kAC.

Chú ý: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi c luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho c=ma+nb.

11. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=aOB=b.

Góc AOB^ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là a,  b.

Nếu a,  b=90° thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu ab.

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có a,  b=b,  a.

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là 0 thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

12. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b đều khác 0.

Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức:a.b=a.b.cosa,  b.

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0, ta quy ước a.b=0.

b) Với hai vectơ a và b, ta có aba.b=0.

c) Khi a=b thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là a2 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

Ta có a2=a.a.cos0°=a2. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của  và  biểu diễn công A sinh bởi lực  khi thực hiện độ dịch chuyển . Ta có công thức A=F.d

13. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,  b,  c bất kì và mọi số k, ta có:

a.b=b.a;                       a.b+c=a.b+a.c;                         ka.b=ka.b=a.kb.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

a+b2=a2+2a.b+b2;

a+bab=a2b2.

Đánh giá

0

0 đánh giá