Với giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5
Giải SBT Toán 10 trang 101 Tập 1
A. Trắc nghiệm
Bài 1 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ là:
A. 5;
B. 6;
C. 7;
D. 9.
Lời giải:
Đáp án đúng là A
Chọn đáp án A.
A. 2;
B. 3;
C. 4;
D. 6.
Lời giải:
Đáp án đúng là A
Các vectơ bằng vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: , .
Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Đáp án đúng là C
Theo quy tắc ba điểm ta có: .
Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định A, B, D sai.
Lời giải:
Đáp án đúng là C
I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi + = 0 hay .
Vậy chọn đáp án C.
Lời giải:
Đáp án đúng là C
Ta có:
. Khẳng định A sai.
. Khẳng định B sai.
I là trung điểm của BC nên . Khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án C.
Giải SBT Toán 10 trang 102 Tập 1
Bài 6 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Đáp án đúng là A
Ta có:
( vì ). Vậy khẳng định A đúng. Khẳng định C sai.
Ta có: . Do đó khẳng định B sai.
Ta lại có: . Do đó khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án A.
Bài 7 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Đặt , . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
Lời giải:
Đáp án đúng là C
Ta có thể thấy:
Như vậy và là cặp vectơ cùng phương.
Lời giải:
Đáp án đúng là D
Ta có: là góc kề bù với
⇒ = 180° – 50° = 130°. Khẳng định A đúng.
= = = 90° – 50° = 40°. Khẳng định B đúng.
= = = 50°. Khẳng định C đúng.
là góc kề bù với
⇒ = 180° – 40° = 140°. Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án D.
Lời giải:
Đáp án đúng là A
Ta có:
Do và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ nên = cos0° = 1.
Vậy . Đáp án A đúng.
Bài 10 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?
Lời giải:
Đáp án đúng là D
Do AB ⊥ AC nên
Ta lại có (vì là góc nhọn nên cos > 0). Do đó .
Khẳng định A đúng.
là góc tù nên < 0;
là góc nhọn nên > 0. Suy ra . Khẳng định B đúng.
là góc tù nên < 0; là góc nhọn nên > 0. Suy ra . Khẳng định C đúng.
là góc nhọn nên > 0; là góc tù nên < 0. Suy ra .
Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án D.
B. Tự luận
a) cùng hướng?
Lời giải:
a) Hai vectơ và cùng hướng khi B nằm giữa A và C.
b) Hai vectơ và ngược hướng khi A nằm giữa B và C.
Lời giải:
Trong ba vectơ chọn hai vectơ tùy ý:
- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm.
- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn.
Lời giải:
Do BB’ là đường kính nên = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
⇒ BC ⊥ B’C.
H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH.
Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC ).
Do BB’ là đường kính nên = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
⇒ BA ⊥ B’A.
H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ BA.
Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA ).
Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )
Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1
Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương và , ta có: .
Lời giải:
Vẽ ba điểm O, A, B sao cho . Ta có
Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:
≤ OB ≤ OA + AB
Suy ra .
Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Đặt =
Ta có: =
Do OA nằm trên đường phân giác của và của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ và nằm trên đường thẳng OA, suy ra nằm trên đường thẳng OA.
Chứng minh tương tự ta có cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy =
Vậy
Lời giải:
A’ là điểm đối xứng với B qua A nên = .
B’ là điểm đối xứng với C qua B nên = .
C’ là điểm đối xứng với A qua C nên = .
Ta có:
Vậy .
a) ;
b) Vectơ vuông góc với vectơ .
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm BC ta có:
Khi đó tam giác ABC vuông tại A.
b) Vectơ vuông góc với vectơ ⇔ . =
hay . = .
Suy ra AB2 – AC2 = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.
Vậy Vectơ vuông góc với vectơ khi tam giác ABC cân tại A.
a) ;
Lời giải:
a) ⇒ ABCD là hình bình hành.
b)
Như vậy ta có ABCD là hình thang.
Lời giải:
Ta có: MA = NB và hai vectơ , cùng phương, ngược chiều ⇒ + =
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có:
Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.
Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Ta có:
Vậy .
Lời giải:
Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).
⇒ AB = BC = CA.
Như vậy = = = = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có
N là trung điểm của AB nên
Tương tự ta có: và
( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên
và
Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.
Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Lý thuyết Chương 5: Vectơ
1. Định nghĩa vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.
+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là
, đọc là vectơ .
+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ .
+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của và được kí hiệu là . Như vậy ta có .
Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.
Hướng dẫn giải
Trong hình trên, ta có:
+) có giá là đường thẳng MN, có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.
Do đó và là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.
+) Ta có: có giá là đường thẳng EF, có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.
Do đó và là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.
Chú ý:
+ Trong hình trên, hai vectơ và cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói và là hai vectơ cùng hướng.
+ Hai vectơ và cùng phương nhưng ngược hướng với nhau ( có hướng từ trên xuống dưới và có hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ và là hai vectơ ngược hướng.
Nhận xét:
+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương.
Giải thích: Ta thấy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ và có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. Ngược lại, nếu hai vectơ và cùng phương thì ta suy ta hai đường thẳng AB và AC phải song song hoặc trùng nhau. Mà hai đường thẳng này có điểm A là điểm chung, do đó đường thẳng AB và AC trùng nhau. Khi đó ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng. Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương.
3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu .
Hai vectơ và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu . Khi đó vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ .
Chú ý:
+ Cho vectơ và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho . Khi đó độ dài của là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là .
+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có .
4. Vectơ-không
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là .
Chú ý:
+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.
+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: , với mọi điểm A, B, C,...
+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.
5. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho . Khi đó được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là .
Vậy .
Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm M, N, P, ta có .
Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành
Nếu OACB là hình bình hành thì ta có .
6. Tính chất của phép cộng các vectơ
Phép cộng vectơ có các tính chất sau:
+ Tính chất giao hoán: .
+ Tính chất kết hợp: .
+ Với mọi , ta luôn có: .
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ ,kí hiệu là với .
Chú ý: Cho vectơ tùy ý .
Ta có .
Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: .
7. Hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Hiệu của hai vectơ và là vectơ và kí hiệu là .
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:.
8. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
9. Tích của một số với một vectơ và các tính chất
Cho số k ≠ 0 và . Tích của số k với là một vectơ, kí hiệu là .
Vectơ cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k < 0 và có độ dài bằng .
Ta quy ước và .
Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.
Tính chất:
Với hai vectơ và bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:
+) ;
+) ;
+) ;
+) ;
+) .
10. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Hai vectơ và () cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho .
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để .
Chú ý: Cho hai vectơ và không cùng phương. Với mỗi luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho .
11. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác . Từ một điểm O bất kì ta vẽ , .
Góc với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ và .
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và là .
Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu .
Chú ý:
+ Từ định nghĩa, ta có .
+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác luôn bằng 0°.
+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác luôn bằng 180°.
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ hoặc là thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).
12. Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác .
Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức:.
Chú ý:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ và bằng , ta quy ước .
b) Với hai vectơ và , ta có .
c) Khi thì tích vô hướng được kí hiệu là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .
Ta có . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của và biểu diễn công A sinh bởi lực khi thực hiện độ dịch chuyển . Ta có công thức
13. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ bất kì và mọi số k, ta có:
; ; .
Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:
;
.