Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 1 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và a = b. Chứng minh rằng: c2 = 2a2 (1 – cosC ).

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

c2 = a2 + b2 – 2abcosC

mà a = b nên

c2 = a2 + a2 – 2a2cosC

c2 = 2a2 – 2a2cosC

c2 = 2a2 (1 – cosC ).

Bài 2 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Tính các góc chưa biết của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $\hat{\text{A}}$ = 42°, $\hat{\text{B}}$ = 63°;

b) BC = 10, AC = 20, $\hat{\text{C}}$ = 80°;

c) AB = 15, AC = 25, BC = 30.

Lời giải

a) Tam giác ABC có: $\hat{\text{A}}$ + $\hat{\text{B}}$ + $\hat{\text{C}}$ = 180°.

⇒ $\hat{\text{C}}$ = 180° – $\hat{\text{A}}$ – $\hat{\text{B}}$ = 180° – 42° – 63° = 75°.

Vậy $\hat{\text{C}}$ = 75°.

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

AB2 = BC2 + AC2 – 2BC.AC.cos$\hat{\text{C}}$

AB2 = 102 + 202 – 2.10.20.cos80°

AB = $\sqrt{{10}^2+{20}^2–\mathrm{2.10.20.}\text{cos}80°}$

AB ≈ 20,75.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{\text{AB}}{\text{sinC}}\text{=}\frac{\text{AC}}{\text{sinB}}\text{=}\frac{\text{BC}}{\text{sinA}}$ ≈ $\frac{20,75}{\sin 80°}$.

⇒ sinB = AC : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ = 20 : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ ≈ 0,949 ⇒ $\hat{\text{B}}$ ≈ 71°37’.

⇒ sinA = BC : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ = 10 : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ ≈ 0,475 ⇒ $\hat{\text{C}}$ ≈ 28°21’.

Vậy $\hat{\text{B}}$ ≈ 71°37’ và $\hat{\text{C}}$ ≈ 28°21’.

c) Theo định lí côsin ta có: AB2 = BC2 + AC2 – 2BC.AC.cos$\hat{\text{C}}$

⇒ cos$\hat{\text{C}}$ = $\frac{{\text{BC}}^2+{\text{AC}}^2-{\text{AB}}^2}{2.\text{BC}.\text{AC}}$ = $\frac{{30}^2+{25}^2-{15}^2}{\mathrm{2.30.25}}$ = $\frac{13}{15}$ ⇒ $\hat{\text{C}}$ ≈ 29°55’.

Tương tự như trên, ta có:

cos$\hat{\text{A}}$ = $\frac{{\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2-{\text{BC}}^2}{2.\text{AB}.\text{AC}}$ = $\frac{{15}^2+{25}^2-{30}^2}{\mathrm{2.15.25}}$ = $\frac{-1}{15}$ ⇒ $\hat{\text{A}}$ ≈ 93°49’.

cos$\hat{\text{B}}$ = $\frac{{\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2-{\text{AC}}^2}{2.\text{AB}.\text{BC}}$ = $\frac{{15}^2+{30}^2-{25}^2}{\mathrm{2.15.30}}$ = $\frac{5}{9}$ ⇒ $\hat{\text{B}}$ ≈ 56°15’.

Bài 3 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm M, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{\text{RQA}}$ = 79°, người đó lùi ra xa một khoảng cách LM = 50m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{\text{RPA}}$ = 65°. Hãy tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là PL = QM = 1,4 m ( Hình 6).

Lời giải

Đặt d = PQ = 50m; h = AR là chiều cao từ giác kế đến đỉnh tòa nhà.

Ta có: $\widehat{\text{RQA}}$ = 79° và $\widehat{\text{RPA}}$ = 65°

tan$\widehat{\text{RQA}}$ = $\frac{\text{AR}}{\text{QR}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{QR}}$ ⇒ QR = $\frac{\text{h}}{\text{tan}\widehat{\text{RQA}}\text{}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{tan79°}}$.

tan$\widehat{\text{RPA}}$ = $\frac{\text{AR}}{\text{PR}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{PR}}$ ⇒ PR = $\frac{\text{h}}{\text{tan}\widehat{\text{RPA}}\text{}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{tan65°}}$.

Ta có:

PQ = PR – QR = $\frac{\text{h}}{\text{tan65°}}$ – $\frac{\text{h}}{\text{tan79°}}$ = h $\left(\frac{1}{\tan 65°}-\frac{1}{\tan 79°}\right)$ = 50 (m)

⇒ h ≈ 183,9 (m)

Vậy chiều cao của tòa nhà là AR + RO ≈ 183,9 + 1,4 = 185,3 (m).

Bài 4 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Một vệ tinh quay quanh Trái Đất, đang bay phía trên hai trạm quan sát ở hai thành phố Hồ Chí Minh và Cần Thơ. Khi vệ tinh nằm giữa hai trạm này, góc nâng của nó được quan sát đồng thời là 55° tại Thành phố Hồ Chí Minh và 80° tại Cần Thơ. Hỏi khi đó vệ tinh cách trạm quan sát Cần Thơ bao xa? Biết rằng, khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 127km.

Lời giải

Tam giác ABC có: $\hat{\text{A}}$ + $\hat{\text{B}}$ + $\hat{\text{C}}$ = 180°.

⇒ $\hat{\text{C}}$ = 180° – $\hat{\text{A}}$ – $\hat{\text{B}}$ = 180° – 80° – 55° = 45°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{\text{AB}}{\text{sinC}}=\frac{\text{AC}}{\text{sinB}}$ ⇒ AC = $\frac{\text{AB}}{\text{sinC}}$.sinB = $\frac{127}{\sin 45°}$.sin55° ≈ 147 (km).

Vậy khoảng cách giữa trạm Cần Thơ và vệ tinh khoảng 147 km.

Bài 5 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa nóc hai tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 360 km, 340 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là là 13,2° ( Hình 8).

Lời giải

Gọi điểm O đại diện cho vệ tinh.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB:

AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos$\hat{\text{O}}$

AB2 = 3602 + 3402 – 2.360.340.cos13,2°

AB = $\sqrt{{360}^2+{340}^2–\mathrm{2.360.340.}\text{cos}13,2°}$

AB ≈ 82,87 km.

Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà tòa cao ốc khoảng 82,87 km.

Bài 6 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Một chiếc tàu khởi hành từ bến cảng, đi về hướng Bắc 15 km, sau đó bẻ lái 20° về hướng tây bắc và đi thêm 12 km nữa ( Hình 9). Tính khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

AB là đoạn đường mà tàu đi được ban đầu nên AB = 15 km. AC là đoạn tàu đi được sau khi bẻ sang hướng tây bắc 20° nên AC = 12 km và $\widehat{\text{CAm}}$= 20°. BC là khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

$\widehat{\text{CAm}}$ và $\widehat{\text{CAB}}$ là hai góc kề bù ⇒ $\widehat{\text{CAB}}$ = 180° – 20° = 160°.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos$\widehat{\text{CAB}}$

BC2 = 152 + 122 – 2.12.15.cos20°

BC = $\sqrt{{15}^2+{12}^2–\mathrm{2.12.15.}\text{cos}20°}$

BC ≈ 26,59 km.

Vậy khoảng cách từ tàu đến bến cảng khoảng 26,59 km.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Giải tam giác và ứng dụng thực tế

1. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 và $\widehat{A}=60°.$ 

Hướng dẫn giải

+) Theo định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 45² + 32² – 2.45.32.cos60°

Þ BC² = 1609.

Þ BC ≈ 40,11.

+) Theo định lí sin ta có:$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \frac{40,11}{\sin 60°}=\frac{32}{\sin B}$ 

$\Rightarrow \sin B=\frac{32.\sin 60°}{40,11}\approx 0,69$ 

$\Rightarrow \widehat{B}\approx$ 44° (không thể xảy ra trường hợp $\widehat{B}\approx 136°$ do $\widehat{A}+\widehat{B}>180°$)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=60°,\widehat{B}=44°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-60°-44°=76°$

Vậy BC ≈ 40,11; $\widehat{B}\approx 44°$ và $\widehat{C}\approx 76°.$ 

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 2. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột còn lại 23 mét, sút vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành trên.

Hướng dẫn giải

Vị trí cầu thủ C và khung thành AB được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Gọi α là góc nhìn của cầu thủ C tới hai cột khung thành A và B, tức là $\alpha =\widehat{ACB}.$ 

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$cos\alpha =\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{{23}^2+{26}^2-5^2}{\mathrm{2.23.26}}\approx 0,9866$ 

Suy ra α ≈ 9°23'.

Vậy góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành là khoảng 9°23'.

Ví dụ 3. Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30'. Tính độ cao của ngọn núi.

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BAH}-\widehat{CAH}\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

$\widehat{ABC}=90°+15°30\text{'}=105°30\text{'}$ 

Xét tam giác ABC ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}$ 

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 180°-60°-105°30\text{'}=14°30\text{'}$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$ 

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 105°30\text{'}}=\frac{70}{\sin 14°30\text{'}}$ 

$\Rightarrow AC=\frac{70.\sin 105°30\text{'}}{\sin 14°30\text{'}}$ 

Þ AC ≈ 269,4 (m)

Tam giác ACH vuông tại H ta có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°\approx 134,7\left(m\right)$ 

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.