Với giải HĐ4 trang 24 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

HĐ4 trang 24 Toán 12 Tập 2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).

a) Tính thể tích V của khối nón.

b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = πf²(x). Tính $\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$ và so sánh với V.

Lời giải:

a) Ta có chiều cao của khối nón là h = 4, bán kính đáy của khối nón là R = 2.

Do đó thể tích của khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.4=\frac{16\pi }{3}$

b)

Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$

Khi đó diện tích mặt cắt là $S\left(x\right)=\pi f^2\left(x\right)=\frac{\pi }{4}{x}^2$

Ta có $\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$$=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{x^2}{4}dx$$=\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{4}{\int }}{x}^{2}dx$$={\left.\left(\frac{\pi }{4}.\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^4=\frac{16\pi }{3}$

Vậy $V=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$