Với giải Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.

Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{b}$

Khi đó $\frac{S\left(x\right)}{S_1}=\frac{x^2}{b^2}\Rightarrow S\left(x\right)=\frac{x^2}{b^2}.S_1$

Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{x^2}{b^2}{S}_{1}dx={\left.\frac{S_1}{b^2}.\frac{x^3}{3}\right|}_a^b$$=\frac{S_1}{3b^2}\left(b^3-a^3\right)$

$=\frac{b-a}{3b^2}.\left(S_1{b}^2+S_{1}ab+S_1{a}^2\right)$$=\frac{h}{3}.\left[S_1+S_1\frac{a}{b}+S_1{\left(\frac{a}{b}\right)}^2\right]$

Vì $\frac{S_0}{S_1}={\left(\frac{a}{b}\right)}^2\Rightarrow S_0=S_1.{\left(\frac{a}{b}\right)}^2$; $S_0{S}_1=S_1^2.{\left(\frac{a}{b}\right)}^2$$\Rightarrow \sqrt{S_0{S}_1}=S_1.\frac{a}{b}$

Do đó $V=\frac{h}{3}.\left[S_1+\sqrt{S_1.S_0}+S_0\right]$

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S₀ = 0.

Do đó thể tích khối chóp đều là $V=\frac{1}{3}.S.h$