Với giải Bài 5 trang 8 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Nguyên hàm giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài 5 trang 8 Toán 12 Tập 2: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số

B'(t) = 20t³ – 300t² + 1 000t,

trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.

a) Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 ≤ t ≤ 15.

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

Lời giải:

a) Hàm số B(t) là một nguyên hàm của hàm số B'(t).

Ta có $\int B^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int \left(20t^3-300t^2+1000t\right)dt$

$=\int 20t^{3}dt-\int 300t^{2}dt+\int 1000tdt$.

Suy ra B(t) = 5t⁴ – 100t³ + 500t² + C.

Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên B(1) = 500.

Do đó, 5 ∙ 1⁴ – 100 ∙ 1³ + 500 ∙ 1² + C = 500, suy ra C = 95.

Vậy công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là

B(t) = 5t⁴ – 100t³ + 500t² + 95 (0 ≤ t ≤ 15).

b) Ta có B(3) = 5 ∙ 3⁴ – 100 ∙ 3³ + 500 ∙ 3² + 95 = 2 300.

Vậy sau 3 giờ có 2 300 khách tham dự lễ hội.

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B(t) trên đoạn [0; 15].

Ta có B'(t) = 20t³ – 300t² + 1 000t.

Trên khoảng (0; 15), B'(t) = 0 khi t = 5 hoặc t = 10.

B(0) = 95; B(5) = 3 220; B(10) = 95; B(15) = 28 220.

Do đó, $\underset{\left[0;15\right]}{\max }B\left(t\right)=28220$ tại t = 15.

Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28 220 khách sau 15 giờ.

d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B'(t) trên đoạn [0; 15].

Ta có B''(t) = (20t³ – 300t² + 1 000t)' = 60t² – 600t + 1 000.

Trên khoảng (0; 15), B''(t) = 0 khi $t=\frac{15-5\sqrt{3}}{3}$ hoặc $t=\frac{15+5\sqrt{3}}{3}$ .

B'(0) = 0;$B\left(\frac{15-5\sqrt{3}}{3}\right)\approx 962,25;B\left(\frac{15+5\sqrt{3}}{3}\right)\approx -962,25$ ; B'(15) = 15 000.

Do đó, $\underset{\left[0;15\right]}{\max }{B}^{\text{'}}\left(t\right)=15000$ tại t = 15.