Với giải Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Nguyên hàm giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0.

a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int kf\left(x\right)dx$ và $k\int f\left(x\right)dx$ .

Lời giải:

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Suy ra kF'(x) = kf(x). Vì k là hằng số thực khác 0 nên kF'(x) = (kF(x))'.

Do đó, (kF(x))' = kf(x). Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K nên G'(x) = kf(x).

Lại có G(x) = kH(x), lấy đạo hàm hai vế ta được G'(x) = kH'(x).

Từ đó suy ra kH'(x) = kf(x), tức là H'(x) = f(x). Vậy H(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) Từ câu a, ta có $\int kf\left(x\right)dx=kF\left(x\right)+C$ . (1)

Lại có $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1$ , suy ra $k\int f\left(x\right)dx=k\left(F\left(x\right)+C_1\right)=kF\left(x\right)+k{C}_1$ .

Vì C₁ tùy ý thuộc ℝ và k ≠ 0 nên C = kC₁ tùy ý thuộc ℝ.

Do đó, $k\int f\left(x\right)dx=kF\left(x\right)+C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$