Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài 1 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = x²⁰ là nguyên hàm của hàm số:

A. y = x¹⁹.

B. y = 20x²¹.

C. y = 20x¹⁹.

D. y = $\frac{x^{21}}{21}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: y' = (x²⁰)' = 20x^{20 – 1} = 20x¹⁹.

Vậy y = x²⁰ là một nguyên hàm của hàm số y = 20x¹⁹.

Bài 2 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = sin2x là nguyên hàm của hàm số:

A. y = cos2x.

B. y = 2cos2x.

C. y = −cos2x.

D. y = $\frac{-\cos 2x}{2}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y' = (sin2x)' = 2cos2x.

Vậy y = sin2x là một nguyên hàm của hàm số y = 2cos2x.

Bài 3 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = ln(x² + 1) là nguyên hàm của hàm số:

A. y = $\frac{1}{x^2+1}$

B. y = $\frac{1}{2x(x^2+1)}$.

C. y = $\frac{2x}{x^2+1}$.

D. y = $\frac{2}{x^2+1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: y' = [ln(x² + 1)]' = $\frac{(x^2+1{)}^{\text{'}}}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$.

Vậy y = ln(x² + 1) là nguyên hàm của hàm số y = $\frac{2x}{x^2+1}$.

Bài 4 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = e^{−5x + 4} là nguyên hàm của hàm số:

A. y = $\frac{1}{e^{-5x+4}}$.

B. y = e^{−5x + 4}.

C. y = $\frac{e^{-5x+4}}{-5}$.

D. y = −5e^{−5x + 4}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: y' = (e^{−5x + 4})' = (−5x + 4)'.e^{−5x + 4} =−5.e^{−5x + 4}.

Vậy y = e^{−5x + 4} là nguyên hàm của hàm số y = −5e^{−5x + 4}.

Bài 5 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số:

A. y = $\frac{1}{x}$.

B. y = $\frac{1}{x\ln 10}$.

C. y = $\frac{\ln 10}{x}$.

D. y = $\frac{1}{x\log 10}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y' = (logx)' = $\frac{1}{x\ln 10}$.

Vậy y = logx là nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x\ln 10}$.

Bài 6 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 4x³ – 3x².

Lời giải:

Ta có: f(x) = 4x³ – 3x².

Suy ra f'(x) = (4x³ – 3x²)' = 12x² – 6x.

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (4x^3-3x^2)dx=\int 4x^{3}dx-\int 3x^{2}dx=x^4-x^3+C$

Bài 7 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sinx + cosx.

Lời giải:

Ta có: f(x) = sinx + cosx

Suy ra f'(x) = (sinx + cosx)' = cosx – sinx.

f'(x) + f(x) = cosx – sinx + sinx + cosx = 2cosx.

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (\sin x+\cos x)dx=\int \sin xdx+\int \cos xdx=-\cos x+\sin x+C.$

Bài 8 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 1).

Lời giải:

Ta có: f(x) = (x + 2)(x + 1) = x² + 3x + 2.

           f'(x) = (x² + 3x + 2)' = 2x + 3.

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (x+2)(x+1)dx=\int (x^2+3x+2)dx=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+2x+C.$

Bài 9 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 2x² – 4x⁵ + 6;

b) f(x) = (x + 3)(−2 – x);

c) f(x) = $\frac{x^6-7x^3}{x}$ (x > 0).

Lời giải:

a) $\int f\left(x\right)dx=\int (2x^2-4x^5+6)dx$

$=\int 2x^{2}dx-\int 4x^{5}dx+\int 6dx$

$=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^6+6x+C.$

b) $\int f\left(x\right)dx=\int (x+3)(-2-x)dx$

$=\int (-x^2-5x-6)dx$

$=-\int x^{2}dx-\int 5xdx-\int 6dx$

$=-\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x+C$

c) $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{x^6-7x^3}{x}dx=\int (x^5-7x^2)dx$

$=\int x^{5}dx-\int 7x^{2}dx$

$=\frac{x^6}{6}-\frac{7x^3}{3}+C.$

Bài 10 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 2sinx;

b) f(x) = cosx + x³;

c) f(x) = $\frac{-x^4}{2}-3\cos x$

Lời giải:

a) $\int f\left(x\right)dx=\int 2\sin xdx=2\int \sin xdx=-2\cos x+C.$

b) $\int f\left(x\right)dx=\int (\cos x+x^3)dx=\int \cos xdx+\int x^{3}dx=\sin x+\frac{x^4}{4}+C.$

c) $\int f\left(x\right)dx=\int \left(\frac{-x^4}{2}-3\cos x\right)dx=-\frac{1}{2}\int x^{4}dx-3\int \cos xdx=-\frac{x^5}{10}-3\sin x+C.$

Bài 11 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int 2^x\ln 2dx$

b) $\int 2x\cos \left(x^2\right)dx$;

c) $\int {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)dx$.

Gợi ý:

a) (2^x)' = 2^xln2;

b) [sin(x²)]' = 2xcos(x²);

c) cos²$\left(\frac{x}{2}\right)$= $\frac{1+\cos x}{2}$.

Lời giải:

a) $\int 2^x\ln 2dx$ = $\int (2^x{)}^{\text{'}}dx$ = 2^x + C.

b) $\int 2x\cos \left(x^2\right)dx\int \left[\sin \right(x^2){]}^{\text{'}}dx=\sin (x^2)+C$

c) $\int {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)dx$=$\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\int \left(\frac{1}{2}+\frac{\cos x}{2}\right)dx$

= $\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos xdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+C$

Bài 12 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm $\int \frac{x^2+7x+12}{x+3}dx$ trên (0; +∞).

Lời giải:

Ta có: $\int \frac{x^2+7x+12}{x+3}dx$=$\int \frac{(x+3)(x+4)}{x+3}dx=\int (x+4)dx$

$=\int xdx+4\int dx=\frac{{\displaystyle x^2}}{{\displaystyle 2}}+4x+C.$

Bài 13 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² – 2x, biết F(1) = 5.

Lời giải:

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (3x^2-2x)dx=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx=$x³ – x² + C.

Vì F(1) = 5 nên 1³ – 1² + C = 5, suy ra C = 5.

Vậy F(x) = x³ – x² + 5.

Bài 14 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số biết f(x) = 4x³ + 3x², biết F(1) − f'(1) = −16.

Lời giải:

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (4x^3+3x^2)dx$ $=\int 4x^{3}dx+\int 3x^{2}dx$ = x⁴ + x³ + C và f'(x) = 12x² + 6x.

Vì F(1) − f'(1) = −16 nên 1⁴ + 1³ + C – 12.1² – 6.1 = −16, suy ra C = 0.

Vậy F(x) = x⁴ + x³.

Bài 15 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Xét dao động điều hòa của một chất điểm có vận tốc tức thời tại thời điểm t là: v(t) = −0,2πsin(πt), trong đó, t tính bằng giây, v(t) tính bằng m/s. Tìm phương trình li độ x(t), biết v(t) là đạo hàm của x(t) và x(0) = 0,2 m.

Lời giải:

Ta có: $\int v\left(t\right)dt=\int \left[-\mathrm{0,2}\pi \sin \left(\pi t\right)\right]dt=-\mathrm{0,2}\pi \int \cos \left(\pi t\right)dt$= 0,2cos(πt) + C.

Do v(t) là đạo hàm của x(t) nên x(t) là một nguyên hàm của v(t).

Vì x(0) = 0,2 suy ra 0,2cos(π.0) + C = 0,2 nên C = 0.

Vậy x(t) = 0,2cos(πt).

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ vì ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\text{'}}=x^3$  với mọi x ∈ ℝ.

● Định lí:

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.

● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là

$\int f\left(x\right)dx$.

Nhận xét:

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ta có: $\int F^{\text{'}}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$ .

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Nhận xét: $\int 0dx=C$ và nếu ta quy ước $\int 1dx=\int dx$ thì $\int dx=x+C$ .

Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

Hướng dẫn giải

Do ${\left(\frac{k}{4}{x}^4\right)}^{\text{'}}=k{x}^3$ nên $\frac{k}{4}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx³ trên ℝ.

Vậy $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.

● Tính chất 1: $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ với k là hằng số khác 0.

● Tính chất 2:

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$$=\frac{3}{4}\int \left(4x^3\right)dx-2\int \left(2x\right)dx+7\int dx$

$=\frac{3}{4}\int {\left(x^4\right)}^{\text{'}}dx-2\int {\left(x^2\right)}^{\text{'}}dx+7\int dx$$=\frac{3}{4}{x}^4-2x^2+7x+C$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: