Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

A. Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài của cung tròn

Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Công thức tính độ dài C của đường tròn (O; R), đường kính d = 2R là:

$C=\pi d=2\pi R$

Công thức tính độ dài cung tròn

Công thức tính độ dài l của cung tròn $n^o$ trên đường tròn (O;R) là:

Tỉ số giữa độ dài cung $n^o$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$.

$\frac{l}{C}=\frac{\frac{n}{180}\pi R}{2\pi R}=\frac{n}{360}$

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^0$.

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}={60}^0$

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{n}{180}\pi R=\frac{60}{180}\pi .2=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}={360}^o-{60}^0={300}^0$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{300}{180}\pi .2=\frac{10}{3}\pi \approx 10,5\left(cm\right)$

2. Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khái niệm hình quạt tròn

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

Khái niệm hình vành khuyên

Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn có cùng tâm và bán kính khác nhau (còn gọi là hai đường tròn đồng tâm)

Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình vành khuyên

Tỉ số giữa diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^0$ và diện tích hình tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$ và bằng tỉ số giữa độ dài cung $n^0$ và độ dài đường tròn.

Ví dụ:

1. Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

2. Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$

Sơ đồ tư duy Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

B. Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài 1. Cung có số đo 75° của đường tròn có đường kính 12 cm dài bao nhiêu centimét?

A. 2,5 cm;

B. 2,5π cm;

C. 5π cm;

D. 5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Độ dài của cung tròn đó là:

$l=\frac{n}{360}\cdot \pi d=\frac{75}{360}\cdot \pi \cdot 12=2,5\pi$ (cm).

Bài 2. Diện tích hình quạt tròn có đường kính 16 dm và độ dài cung tương ứng với nó bằng $\frac{\pi }{2}$ dm bằng

A. 2 dm²;

B. 4π dm²;

C. 2π dm²;

D. $\frac{\pi }{4}$ dm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bán kính của hình quạt tròn đó là: $R=\frac{16}{2}=8$ (dm).

Diện tích hình quạt tròn đó là: $S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{\frac{\pi }{2}.8}{2}=2\pi$ (dm²).

Bài 3. Diện tích hình vành khuyên được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R = 6 cm và dài hơn bán kính r là 2 cm bằng

A. 20π cm²;

B. 5π cm²;

C. 10π cm²;

D. 32π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính r là: r = R – 2 = 6 – 2 = 4 (cm).

Diện tích hình vành khuyên cần tìm là:

S_v = π(R² – r²) = π(6² – 4²) = 20π (cm²).

Bài 4. Hình vẽ bên dưới mô tả mặt cắt của một khúc gỗ có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 15 cm và 20 cm. Tính diện tích mặt cắt của khúc gỗ.

Hướng dẫn giải

Diện tích mặt cắt của khúc gỗ là: $\frac{1}{4}\pi \left({20}^2-{15}^2\right)=\frac{175\pi }{4}$ (cm²).

Bài 5. Cho đường tròn (O; 40 cm) có độ dài dây cung AB bằng 64 cm và $\widehat{AOB}=135°$ (hình vẽ).

Tính diện tích phần bị gạch chéo (lấy π ≈3,14).

Hướng dẫn giải

Ta có sđ$\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=135°$.

Diện tích hình quạt tròn bán kính R = 40 cm ứng với cung nhỏ AB có số đo bằng 135° là:

$S_q=\frac{135}{360}\pi \cdot {40}^2=600\pi \approx 600\cdot 3,14=1884$ (cm²).

Kẻ OM ⊥ AB tại M.

Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) có OM là đường cao nên OM cũng là đường trung tuyến của tam giác OAB.

Khi đó $AM=\frac{AB}{2}=\frac{64}{2}=32$ (cm).

Tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OM² + AM²

Suy ra $OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{{40}^2-{32}^2}=24$  (cm).

Diện tích tam giác OAB là:

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OM\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 64=768$ (cm²)

Diện tích phần gạch chéo là:

S = S_q – S_OAB ≈ 1 884 – 768 = 1 116 (cm²).

Bài 6. Thành phố Hồ Chí Minh nằm vào khoảng 10°24’ vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 000 km. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến xích đạo.

Hướng dẫn giải

Thành phố Hồ Chí Minh nằm vào khoảng 10°24’ vĩ độ Bắc.

Nghĩa là, kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến xích đạo có số đo là 10,4°.

Độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến xích đạo là:

$l=\frac{n}{360}C=\frac{10,4}{360}.40000=\frac{10400}{9}\approx 1155,56$ (km).

Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến xích đạo khoảng 1155,56 km.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Lý thuyết Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Lý thuyết Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Lý thuyết Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Lý thuyết Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn