Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

A. Lý thuyết Cung và dây của một đường tròn

1. Dây và đường kính của đường tròn

Khái niệm dây

Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn.

Khái niệm đường kính của đường tròn

Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn.

Đường kính của đường tròn bán kính R là 2R.

Ví dụ:

Trong hình trên, CD là một dây, AB là một đường kính của (O).

Quan hệ giữa dây và đường kính

2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

Khái niệm góc ở tâm và cung tròn

- Nếu $0^0<\alpha <{180}^0$ thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

- Nếu $\alpha ={180}^0$ thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

- Cung nằm bên trong gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

Ví dụ:

Trong hình trên, $\stackrel{⌢}{AmO}$ là cung nhỏ, ta có thể kí hiệu gọn là $\stackrel{⌢}{AB}$.

$\stackrel{⌢}{AnB}$ là cung lớn.

Ta nói góc AOB chắn cung AB hay cung AB bị chắn bởi góc AOB.

Cách xác định số đo một cung

Số đo của một cung được xác định như sau:

- Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^0$.

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^0$ và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

Ví dụ: Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ$\stackrel{⌢}{AB}$.

sđ$\stackrel{⌢}{AmB}=\widehat{AOB}=\alpha$; sđ$\stackrel{⌢}{AnB}={360}^0-\alpha$.

Chú ý:

- Cung có số đo $n^0$ còn được gọi là cung $n^0$. Cả đường tròn được coi là cung ${360}^0$. Đôi khi ta cũng coi một điểm là cung $0^0$.

- Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.

Sơ đồ tư duy Cung và dây của một đường tròn

B. Bài tập Cung và dây của một đường tròn

Bài 1. Khẳng định nào sau đây kết luận sai?

A. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 180° và số đo của cung nhỏ có chung hai mút;

B. Số đo của cung MN được kí hiệu là sđ$\stackrel{⏜}{MN}$;

C. Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất;

D. Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương án B, C, D đúng.

Phương án A sai. Sửa lại: Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

Bài 2. Cho các hình vẽ dưới đây:

Góc nào là góc ở tâm?

A. $\widehat{AIM};$

B. $\widehat{DEF};$

C. $\widehat{KOQ};$

D. $\widehat{CKH}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\widehat{KOQ};$ là góc ở tâm vì có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Các góc $\widehat{AIM},$ $\widehat{DEF},$ $\widehat{CKH}$  không phải là góc ở tâm vì có đỉnh không trùng với tâm của đường tròn.

Bài 3. Cho AB và CD là hai dây của đường tròn (O; R). Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD. Kết luận nào sau đây đúng?

A. $O{K}^2+\frac{C{D}^2}{4}>R^2$ ;

B. $O{H}^2+\frac{A{B}^2}{4}<R^2$ ;

C. $O{H}^2+\frac{A{B}^2}{4}>O{K}^2+\frac{C{D}^2}{4}$ ;

D. $O{H}^2+\frac{A{B}^2}{4}=O{K}^2+\frac{C{D}^2}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam giác AOB cân tại O (vì OA = OB = R) có OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến của tam giác AOB.Do đó $HB=\frac{AB}{2}$ .

Tam giác OHB vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OH² + HB² = OB²

Suy ra $O{H}^2+\frac{A{B}^2}{4}=R^2$ .

Chứng minh tương tự, ta được $O{K}^2+\frac{C{D}^2}{4}=R^2$ .

Từ đây ta thu được $O{H}^2+\frac{A{B}^2}{4}=O{K}^2+\frac{C{D}^2}{4}\left(=R^2\right)$ .

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại một điểm nằm trong đường tròn. Chứng minh rằng: S_ACBD ≤ 2R².

Hướng dẫn giải

Đường tròn (O) có đường kính bằng 2R.

Ta có AB và CD là hai dây cung của đường tròn (O) nên AB < 2R và CD < 2R.

Gọi H là giao điểm của AB và CD.

Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}CH\cdot AB$  và $S_{ABD}=\frac{1}{2}DH\cdot AB$ .

Suy ra $S_{ACBD}=S_{ABC}+S_{ABD}=\frac{1}{2}CH\cdot AB+\frac{1}{2}DH\cdot AB$

Do đó

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\left(CH+DH\right)=\frac{1}{2}AB\cdot CD\le \frac{1}{2}\cdot 2R\cdot 2R=2R^2$ .

Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C nằm trên (O) sao cho $\widehat{AOC}=50°$. Vẽ dây CD vuông góc với AB (D ∈ (O)) và dây DE song song với AB (E ∈ (O)).

a) Chứng minh ba điểm C, O, E thẳng hàng.

b) Tính số đo cung nhỏ BE.

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB ⊥ CD và DE // AB nên CD ⊥ DE hay $\widehat{CDE}=90°.$

Xét ∆OCD có OC = OD = R nên tam giác OCD cân tại O, suy ra $\widehat{OCD}=\widehat{ODC}.$

Mà $\widehat{COD}+\widehat{OCD}+\widehat{ODC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{COD}=180°-2\widehat{ODC}.$

Chứng minh tương tự đối với ∆ODE ta cũng có $\widehat{DOE}=180°-2\widehat{ODE}.$

Khi đó, $\widehat{COD}+\widehat{DOE}=180°-2\widehat{ODC}+180°-2\widehat{ODE}$

Hay $\widehat{COE}=360°-2\left(\widehat{ODC}+\widehat{ODE}\right)$

                $=360°-2\cdot \widehat{CDE}=360°-2\cdot 90°=180°.$

Vậy ba điểm C, O, E thẳng hàng.

b) Vì ba điểm C, O, E thẳng hàng nên $\widehat{BOE}=\widehat{AOC}=50°.$

Do đó sđ$\stackrel{⏜}{BE}=\widehat{BOE}=50°$ .

Bài 6. Trong một trò chơi, hai bạn Mai và Hoa cùng chạy trên một đường tròn tâm O có bán kính 30 m (như hình vẽ).

Có thời điểm nào dây AB nối vị trí của hai bạn đó có độ dài bằng 61 m hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Đường tròn tâm O có đường kính là: 2.30 = 60 (m).

Vì độ dài dây AB không vượt quá độ dài đường kính của đường tròn nên AB ≤ 60 (m).

Vậy không có thời điểm nào dây AB nối vị trí của hai bạn Mai và Hoa có độ dài bằng 61 m.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Lý thuyết Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Lý thuyết Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Lý thuyết Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Lý thuyết Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn