Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn

A. Lý thuyết Mở đầu về đường tròn

1. Đường tròn

Định nghĩa đường tròn

Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).

Điểm thuộc đường tròn

Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết $A\in \left(O\right)$. Khi đó, ta còn nói đường  tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

Tổng quát:

- Điểm A nằm trên đường tròn (O; R) nếu OA = R;

- Điểm A nằm trong đường tròn (O; R) nếu OA < R;

- Điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OA > R.

Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O;R).

2. Tính đối xứng của đường tròn

a) Đối xứng tâm

Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua điểm I (hay qua tâm I) nếu I là trung điểm của đoạn MM’.

Ví dụ: Nếu O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD thì

+) OA = OC nên A và C đối xứng với nhau.

+) OB = OD nên B và D đối xứng với nhau.

b) Đối xứng trục

Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d) nếu d là đường trung trực của đoạn MM’.

Ví dụ: Nếu AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A thì AH cũng là đường trung trực của BC, nên B và C đối xứng với nhau qua AH.

c) Tâm đối xứng của đường tròn

d) Trục đối xứng của đường tròn

B. Bài tập Mở đầu về đường tròn

Bài 1. Điểm K nằm trong đường tròn (O; R) khi:

A. OK < R;

B. OK > R;

C. OK = R;

D. OK ≠ R.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm K nằm trong đường tròn (O; R) nếu OK < R.

Bài 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường tròn có một trục đối xứng;

B. Đường tròn có vô số trục đối xứng;

C. Đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất;

D. Chỉ B, C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Do đó phương án B đúng, phương án A sai.

Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Do đó phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(–1; –1) và đường tròn (O; 2). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Điểm A nằm ngoài đường tròn;

B. Điểm A nằm trên đường tròn;

C. Điểm A nằm trong đường tròn;

D. Không kết luận được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ AH ⊥ Ox tại H; AK ⊥ Oy tại K.

Khi đó OH = |x_A| = |–1| = 1; OK = |y_A| = |–1|= 1.

Tứ giác OHAK, có: $\widehat{HOK}=\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=90°$  và OH = OK = 1.

Suy ra tứ giác OHAK là hình vuông, do đó AH = OH = 1.

Xét ∆OHA vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

OA² = OH² + AH² = 1² + 1² = 2.

Do đó $OA=\sqrt{2}$ .

Ta có: $OA=\sqrt{2}<2$ nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2).

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, $OA=2\sqrt{2}$ cm. Vẽ đường tròn (A; 4 cm). Trong các điểm O, B, C, D, xác định điểm nằm trong, nằm trên và nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Hướng dẫn giải

Hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ⊥ BD, AC = BD và O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $OB=OA=2\sqrt{2}$ (cm) và AO ⊥ OB.

Xét ∆AOB vuông O, theo định lí Pythagore ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=16.$

Do đó AB = 4 (cm).

Khi đó, AD = AB = 4 (cm) (do ABCD là hình vuông) nênhai điểm B, D nằm trên đường tròn (A; 4 cm).

Vì $OA=2\sqrt{2}$ (cm) < 4 (cm) nên điểm O nằm trong đường tròn (A; 4 cm).

Ta có $AC=2OA=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ (cm) > 4 (cm) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có $\hat{C}=\hat{D}=60°$ và CD = 2AD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Tính diện tích hình thang ABCD biết AD = 4 cm vàAB = 1,5 cm.

Hướng dẫn giải

a) Hình thang ABCD, có: AB // CD và $\hat{C}=\hat{D}=60°$  nên ABCD là hình thang cân.

Do đó BC = AD.

Gọi M là trung điểm CD. Suy ra CD = 2MD và MC = MD     (1)

Mà CD = 2AD nên MD = AD.

Xét ∆ADM có MD = AD và $\widehat{ADM}=60°$nên ∆ADM đều.

Suy ra MA = MD      (2)

Chứng minh tương tự, ta được MC = MB     (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được MA = MB = MC = MD.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (M; MD).

b) Kẻ AH ⊥ CD tại H.

Do tam giác ADM đều nên $\widehat{ADH}=60°.$

Xét ∆ADH vuông tại H, ta có:

$AH=AD\cdot \sin \widehat{ADH}=4\cdot \sin 60°=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ (cm).}$

Diện tích hình thang ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot \left(AB+CD\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \left(1,5+4\right)=\frac{11\sqrt{3}}{2}\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng $\frac{11\sqrt{3}}{2}$ cm².

Bài 6. Cho đường tròn (O; R). Đường thẳng d đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm A, C. Đường thẳng d’ (khác d) đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, D. Chứng minh rằng:

a) A và C đối xứng với nhau qua điểm O; B và D đối xứng với nhau qua điểm O.

b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) Xét đường tròn (O; R), ta có: OA = OC = R.

Suy ra O là trung điểm của AC.

Như vậy, A và C đối xứng với nhau qua điểm O.

Chứng minh tương tự, ta được B và D đối xứng với nhau qua O.

b) Ta có: AC = OA + OC = 2R và BD = OB + OD = 2R, nên AC = BD.

Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành.

Lại có AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Lý thuyết Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Lý thuyết Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Lý thuyết Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Lý thuyết Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn