Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

A. Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Điểm chung H của đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau goi là tiếp điểm. Khi đó đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H.

Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì $OH\mathrm{\perp }a$.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Ví dụ: Cho đường tròn (O), B, C $\in$ (O). Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại A.

Khi đó:

- AB = AC

- Tia AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

- Tia OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$.

Sơ đồ tư duy Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

B. Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 1. Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất 2 điểm chung.Khi đó đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Bài 2. Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, NP = 12 cm, MP = 13 cm. Vẽ đường tròn (M; MN). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NP là tiếp tuyến của (M; MN);

B. MN là tiếp tuyến của (M; MN);

C. ∆MNP vuông tại M;

D. ∆MNP vuông tại P.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có 5² + 12² = 13² = 169.

Suy ra MN² + NP² = MP².

Áp dụng định lý Pythagore đảo, ta có tam giác MNP vuông tại N.

Khi đó MN ⊥ NP tại N thuộc đường tròn (M; MN).

Vậy NP là tiếp tuyến của đường tròn (M; MN).

⦁ Phương án B sai vì MN là bán kính của đường tròn (M; MN).

⦁Phương án C, D sai vì tam giác MNP vuông tại N.

Bài 3. Cho hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Khoảng cách từ điểm đó tới hai tiếp tuyến là bằng nhau;

B. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính;

C. Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính;

D. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí 2, ta có phương án A, C, D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Cho điểm A cách đường thẳng xy một khoảng bằng 12 cm.

a) Chứng minh đường tròn (A; 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi hai giao điểm của (A; 13 cm) với xy là B, C. Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải

a) Vì điểm A cách đường thẳng xy một khoảng bằng 12 cm nên d = 12 cm.

Ta có d = 12 cm < R = 13 cm.

Vậy đường tròn (A; 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

b) Kẻ AH vuông góc với xy tại H.

Suy ra AH = d = 12 cm.

Tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra $BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5$  (cm).

Tam giác ABC cân tại A (do AB = AC = R) có AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.Khi đó H là trung điểm BC.

Vì vậy BC = 2BH = 2.5 = 10 (cm).

Vậy BC = 10 cm.

Bài 5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\widehat{AMB}=60°$. Biết chu vi tam giác AMB bằng 24 cm. Tính độ dài bán kính của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MA = MB.

Suy ra tam giác AMB cân tại M.

Mà $\widehat{AMB}=60°$nên tam giác AMB đều.

Suy ra AM = MB = AB.

Lại có chu vi tam giác AMB bằng 24 cm nên $AM=MB=AB=\frac{24}{3}=8$ (cm).

Áp dụng định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MO là tia phân giác của .

Suy ra $\widehat{AMO}=\frac{\widehat{AMB}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$.

Vì MA là tiếp tuyến của (O) với A là tiếp điểm nên MA ⊥ OA.

Tam giác OAM vuông tại A nên:

$OA=AM\cdot \tan \widehat{AMO}=8\cdot \tan 30°=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ (cm).

Vậy độ dài bán kính của đường tròn (O) bằng $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.

Bài 6. Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên một sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 62 cm. Tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Hướng dẫn giải

Bán kính của bánh xe là: $R=\frac{62}{2}=31$ (cm).

Vì diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên một sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây nên sợi dây là tiếp tuyến của bánh xe.

Khi đó khoảng cách từ trục bánh xe đến sợi dây luôn bằng R = 31 cm.

Vậy khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp bằng 31 cm.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Lý thuyết Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Lý thuyết Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Lý thuyết Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Lý thuyết Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn