Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

A. Lý thuyết Bất đẳng thức và tính chất

1. Bất đẳng thức

Nhắc lại thứ tự trên tập số thực

Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

a) Số a bằng số b, kí hiệu $a=b$.

b) Số a lớn hơn số b, kí hiệu $a>b$.

c) Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu $a<b$.

Khi biểu kiễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn.

Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là $a>b$ hoặc $a=b$, kí hiệu là $a\ge b$.

Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là $a<b$ hoặc $a=b$, kí hiệu là $a\le b$.

Khái niệm bất đẳng thức

Chú ý:

Hai bất đẳng thức $1<2$ và $-3<-2$ (hay $6>3$ và $8>5$) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức $1<2$ và $-2>-3$ (hay $6>3$ và $5<8$) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Ví dụ: Vì $\frac{2024}{2023}=1+\frac{1}{2023}>1$ và $\frac{2021}{2022}=1-\frac{1}{2022}<1$ nên $\frac{2024}{2023}>\frac{2021}{2022}$.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ: Vì $2023<2024$ nên $2023+\left(-19\right)<2024+\left(-19\right)$

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ:

Vì $-7<-5$ và $3>0$ nên $3.\left(-7\right)<3.\left(-5\right)$.

Vì $-7<-5$ và $-3<0$ nên $\left(-3\right).\left(-7\right)>\left(-3\right).\left(-5\right)$.

Sơ đồ tư duy Bất đẳng thức và tính chất

B. Bài tập Bất đẳng thức và tính chất

Bài 1. Hệ thức nào sau đây là bất đẳng thức?

A. 2x – 8 = 0.

B. 3x = y.

C. 3x² + 1 = 0.

D. y² – 2 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Các hệ thức 2x – 8 = 0; 3x² + 1 = 0; 3x = y là đẳng thức.

• Hệ thức y² – 2 ≥ 0 là bất đẳng thức.

Bài 2. Trên trục số, điểm biểu diễn số a nằm bên phải điểm biểu diễn số b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a < b.

B. a > b.

C. a ≤ b.

D. a = b.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì trên trục số, điểm biểu diễn số a nằm bên phải điểm biểu diễn số b nên a lớn hơn b hay a > b.

Bài 3. Cho a > b. Khi đó ta có:

A. 2a > 7b.

B. 2a > 2b + 1.

C. 5a + 2 > 5b + 2.

D. –6a < –6b – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: a > b, suy ra 5a > 5b, do đó 5a + 2 > 5b + 2.

Bài 4. Xác định vế trái và vế phải của bất đẳng thức sau:

a) –3x + 2 > 7;

b) 2x – 1 ≤ 3x + 5;

c) x² + 2 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Vế trái là –3x + 2, vế phải là 7;

b) Vế trái là 2x – 1, vế phải là 3x + 5;

c) Vế trái là x² + 2, vế phải là 0.

Bài 5. Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 5 với −1;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a – 1 ≤ b² – 1 với 4;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 3 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 4;

Hướng dẫn giải

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 5 với −1 ta được:

a – 1 > 5 – 1

a – 1 > 4.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là a – 1 > 4.

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a – 1 ≤ b² – 1 với 4 ta được:

2a – 1 + 4 ≤ b² – 1 + 4

2a + 3 ≤ b² + 3.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là 2a + 3 ≤ b² + 3.

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 3 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 4 ta được:

–2a > (–2) . 3

–2a + 4 > (–2) . 3 + 4

–2a + 4 > –2.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là –2a + 4 > –2.

Bài 6. Cho m > n, hãy so sánh:

a) 4m +5 và 4n +5;

b) –2m –11 và –2n –11.

Lời giải:

a) Vì m > n nên 4a >4b, suy ra 4m +5 > 4n +5.

Vậy 4m +5 > 4n +5.

b) Vì m > n nên –2m < –2n, suy ra –2m –11 và –2n –11.

Vậy –2m –11 và –2n –11.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

Lý thuyết Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Lý thuyết Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Lý thuyết Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai