Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Cách giải phương trình tích

Ví dụ: Giải phương trình $\left(2x+1\right)\left(3x-1\right)=0$

Lời giải:

Ta có: $\left(2x+1\right)\left(3x-1\right)=0$

nên $2x+1=0$ hoặc $3x-1=0$.

$2x+1=0$ hay $2x=-1$, suy ra $x=-\frac{1}{2}$.

$3x-1=0$ hay $3x=1$, suy ra $x=\frac{1}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{1}{2}$ và $x=\frac{1}{3}$.

Các bước giải phương trình:

Ví dụ: Giải phương trình $x^2-x=-2x+2$.

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

$\begin{array}{l}{x}^2-x=-2x+2\\ x^2-x+2x-2=0\\ x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.\end{array}$

Ta giải hai phương trình sau:

$x+2=0$ suy ra $x=-2$.

$x-1=0$ suy ra $x=1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-2$ và $x=1$.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

- Phương trình $\frac{5x+2}{x-1}=0$ có điều kiện xác định là $x\ne 1$ vì $x-1\ne 0$ khi $x\ne 1$.

- Phương trình $\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x-2}$ có điều kiện xác định là $x\ne -1$ và $x\ne 2$ vì $x+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, $x-2\ne 0$ khi $x\ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x\ne -1$ và $x\ne 2$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được $\frac{2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$, suy ra $2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3$.

Giải phương trình $2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3$:

$\begin{array}{l}2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3\\ 2x-4+x+1=3\\ 3x-3=3\\ 3x=6\\ x=2\end{array}$

Giá trị $x=2$ không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ vô nghiệm.

Sơ đồ tư duy Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

B. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Nghiệm của phương trình (x + 3)(x - 1) = 0 là

A. x = 1;

B. x = -3;

C. x = 1; x = -3;

D. x = -1; x = -3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (x + 3)(x - 1) = 0

Nên x + 3= 0 hoặc x - 1 = 0.

• x + 3 = 0 suy ra x = -3.

• x - 1 = 0 suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -3 và x = 1.

Bài 2. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là

A. x ≠ 2;

B. x ≠-2;

C. x ≠ 2 và x ≠ 1;

D. x ≠ 2 và x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là x - 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.

Bài 3. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (x – 7)(2x + 5) = 0;

c) x(3x + 5) – 9x – 15 = 0;

d) x² - 16 + 5x(x - 4) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(4x + 3) = 0

Nên 5x = 0 hoặc 4x + 3 = 0

• 5x = 0, suy ra x = 0.

• 4x + 3 = 0 hay 4x = –3, suy ra $x=-\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{3}{4}$

b) Ta có (x – 7)(2x + 5) = 0

Nên x – 7 = 0 hoặc 2x + 5 = 0.

• x – 7 = 0 suy ra x = 7.

• 2x + 5 = 0 hay 2x = –5, suy ra $x=-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 7 và $x=-\frac{5}{2}$.

c) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x(3x + 5) – 9x – 15 = 0

x(3x + 5) – 3(3x + 5) = 0

(3x + 5)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 3x + 5 = 0 hay 3x = -5 suy ra $x=\frac{-5}{3}$.

• x -3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-5}{3}$ và x = 3.

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{2x-3}{4x+1}=1;$

b) $\frac{x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{2x+1}=\frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là 4x +1 ≠ 0 hay $x\ne -\frac{1}{4}$.

b) Ta có 3x + 1 ≠ 0 khi $x\ne -\frac{1}{3}$ và 2x –+1 ≠ 0 khi $x\ne -\frac{1}{2}$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne -\frac{1}{3}$ và $x\ne -\frac{1}{2}$.

Bài 5. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$;

b) $\frac{2}{x+3}-\frac{3}{x-2}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$;

c) $\frac{x-5}{x+1}+\frac{5}{x}=\frac{6}{x^2+x}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x\ne \frac{1}{2}$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$

$\frac{2x-2\left(x+2\right)}{x+2}=\frac{x}{x+2}$

Suy ra 2x – 2(x + 2) = x

2x – 2x – 4 = x

x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ –3 và x ≠ 2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2}{x+3}-\frac{3}{x-2}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

Suy ra 2(x – 2) – 3(x + 3) = 1 – 5x

2x – 4 – 3x – 9 = 1 – 5x

-x - 13 = 1 - 5x

-x + 5x = 1 + 13

4x = 14

$x=\frac{7}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{7}{2}$

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ –1.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-5}{x+1}+\frac{5}{x}=\frac{6}{x^2+x}$

$\frac{x\left(x-5\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{5\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

$\frac{x^2-5x}{x\left(x+1\right)}+\frac{5x+5}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

$\frac{x^2+5}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

Suy ra x² + 5 = 6

x² = 1

x = ±1

Đối chiếu ĐKXĐ nên suy ra x = 1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Lý thuyết Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

Lý thuyết Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Lý thuyết Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia