Với giải Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 2 trang 44 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 2 trang 44

Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề Toán 12: Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là, có góc nhìn θ lớn nhất)?

Lời giải:

Giả sử tình huống được mô tả bởi hình vẽ dưới đây với C là vị trí mắt của người quan sát, DB = 4 m là chiều cao của bức tranh, AD = 3 m là khoảng cách từ mép dưới của bức tranh đến mắt người quan sát.

Giả sử AC = x (m) là khoảng cách từ người quan sát đến tường, x > 0.

Khi đó, ta có: $CD=\sqrt{x^2+3^2}=\sqrt{x^2+9}\text{ (m)}$ và $BC=\sqrt{x^2+{\left(3+4\right)}^2}=\sqrt{x^2+49}\text{ (m).}$

Áp dụng hệ quả định lí Cosin vào tam giác BCD, ta có:

$\cos C=\frac{C{D}^2+B{C}^2-B{D}^2}{2CD\cdot BC}$

$=\frac{2x^2+42}{2\sqrt{x^2+9}\cdot \sqrt{x^2+49}}$$=\frac{x^2+21}{\sqrt{x^4+58x^2+441}}.$

Hay $\cos \theta =\frac{x^2+21}{\sqrt{x^4+58x^2+441}}.$

Với θ ∈ (0°; 90°), để góc nhìn θ lớn nhất thì cosθ nhỏ nhất.

Đặt hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+21}{\sqrt{x^4+58x^2+441}},$ xét trên khoảng (0; +∞).

Khi đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (0; +∞).

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x\sqrt{x^4+58x^2+441}-\left(x^2+21\right)\cdot \frac{4x^3+116x}{2\sqrt{x^4+58x^2+441}}}{x^4+58x^2+441}$

$=\frac{2x\left(x^4+58x^2+441\right)-\left(x^2+21\right)\left(2x^3+58x\right)}{\left(x^4+58x^2+441\right)\sqrt{x^4+58x^2+441}}$

$=\frac{16x^3-336x}{\left(x^4+58x^2+441\right)\sqrt{x^4+58x^2+441}}.$

f’(x) = 0 ⇔ 16x³ – 336x = 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x² = 21

$\iff x=\sqrt{21}$ (do x ∈ (0; +∞)).

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞).

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=\frac{\sqrt{21}}{5}$ khi $x=\sqrt{21}\text{.}$

Vậy người quan sát phải đứng cách tường $\sqrt{21}\approx 4,58$ mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là, có góc nhìn θ lớn nhất).