Với giải Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 2 trang 44 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 2 trang 44

Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề Toán 12: Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc θ. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức

$F=\frac{cmg}{c\sin \theta +\cos \theta },$

trong đó g là gia tốc trọng trường và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi tanθ = c.

Lời giải:

Xét hàm số $F=\frac{cmg}{c\sin \theta +\cos \theta },$ với θ ∈ [0°; 90°].

Đạo hàm của hàm F là: $F^{\text{'}}=-\frac{cmg\cdot \left(c\cdot \cos \theta -\sin \theta \right)}{{\left(c\sin \theta +\cos \theta \right)}^2}.$

Ta có $F^{\text{'}}=0\iff -\frac{cmg\cdot \left(c\cdot \cos \theta -\sin \theta \right)}{{\left(c\sin \theta +\cos \theta \right)}^2}=0\iff c\cdot \cos \theta -\sin \theta =0$

Giả sử θ₀ thỏa mãn sao cho tanθ₀ = c.

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

F(0°) = cmg; $F\left({\theta }_0\right)=\frac{cmg}{\left(c^2+1\right)\cos \alpha };$ F(90°) = mg.

Dễ thấy rằng F(α) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị F(0°), F(α), F(90°).

Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất tại θ₀ thỏa mãn tanθ₀ = c.

Vậy lực kéo F nhỏ nhất khi tanθ = c.