Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Tính khoảng thời gian cá heo ở trên không.

Lời giải:

Khoảng thời gian cá heo ở trên không chính khoảng cá heo cao hơn mặt nước

Ta có bất phương trình $h\left(t\right)>0\iff -4,9t^2+9,6t>0$

Xét tam thức $f\left(t\right)=-4,9t^2+9,6t$ có $\mathrm{\Delta }=92.16>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=0,x_2=\frac{96}{49}$ và có $a=-4,9<0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy khoảng thời gian cá heo ở trên không là khoảng $\left(0;\frac{96}{49}\right)$ giây

Bài 8 trang 19 Toán lớp 10: Lợi nhuận một tháng $p\left(x\right)$ của một quán ăn phụ thuộc vào giá trung bình x của các món ăn theo công thức $p\left(x\right)=-30x^2+2100x-15000$, với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?

Lời giải:

15 triệu đồng = 15000 nghìn đồng

Từ giả thiết bài toán ta có bất phương trình $p\left(x\right)\ge 15000\iff -30x^2+2100x-15000\ge 15000$

$\Rightarrow -30x^2+2100x-30000\ge 0$

Xét tam thức $f\left(x\right)=-30x^2+2100x-30000$ có $\mathrm{\Delta }=810000>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=20,x_2=50$ và $a=-30<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng 20 đến 50 nghìn đồng.

Bài 9 trang 19 Toán lớp 10: Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số $y=f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x+1,5$với y (tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất khi độ dịch chuyển theo phương ngang của bóng là x (tính bằng mét). Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m, người ta phải đứng cách lưới bao xa? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Lời giải:

Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m thì $y=f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x+1,5>2$

$\Rightarrow f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x-0,5>0$

Xét tam thức $f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x-0,5$ có $\mathrm{\Delta }=0,1>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1\simeq 1,4;x_2\simeq 11,9$ và có $a=-0,03<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m, người ta phải đứng cách lưới từ 1,4 cho đến 11,9 mét

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Newton

Lý thuyết Chương 4: Bất phương tình bậc hai một ẩn

1. Tam thức bậc hai

– Đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x₀ vào f(x), ta được  gọi là giá trị của tam thức bậc hai  tại x₀.

• Nếu f(x₀) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x₀.

• Nếu f(x₀) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x₀.

• Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 3.

a) f(x) = x² + 2x⁴ – 2;

b) f(x) = –x² + 2x – 3;

c) f(x) = 3x² – $\sqrt{5}$x.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) = x² + 2x⁴ – 2 không phải là tam thức bậc hai vì có chứa x⁴.

b) Biểu thức f(x) = –x² + 2x – 3 là tam thức bậc hai với a = –1, b = 2 và c = –3.

Khi x = 3 ta có:

f(3) = –3² + 2.3 – 3 = = –9 + 6 – 3 = –6 < 0.

Do đó f(x) âm tại x = 3.

c) Biểu thức f(x) = 3x² – $\sqrt{5}$x là tam thức bậc hai với a = 3, b = $-\sqrt{5}$  và c = 0.

Khi x = 3 ta có:

f(3) = 3.3² – $\sqrt{5}$.3 = 27 – 3$\sqrt{5}$ > 0

Do đó f(x) dương tại x = 3.

– Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:

• Nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c là nghiệm của f(x).

• Biểu thức ∆ = b² – 4ac và ${\Delta }^{\text{'}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac$ lần lượt là biệt thức và biệt thức rút gọn của f(x).

Ví dụ: Tìm biệt thức (hoặc biệt thức thu gọn) và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = x² + 2x – 5;

b) f(x) = = –3x² + 18x – 27;

c) f(x) = x + x² + 1.

Hướng dẫn giải

a) f(x) = x² + 2x – 5 có ∆' = 1² – 1.(–5) = 6 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=-1+\sqrt{6}$ và  $x_2=-1-\sqrt{6}$

Vậy tam thức bậc hai đã cho có hai nghiệm là $x_1=-1+\sqrt{6}$  và $x_2=-1-\sqrt{6}$  

b) f(x) = –3x² + 18x – 27

f(x) có ∆' = 9² – (‒3).(–27) = 0

Do đó f(x) có nghiệm kép là $x=\frac{-9}{-3}=3$  

Vậy tam thức bậc hai đã cho có nghiệm là x = 3.

c) f(x) = x + x² + 1 = x² + x + 1.

f(x) có ∆ = 1² – 4.1.1 = –3 < 0.

Do đó f(x) vô nghiệm.

Vậy tam thức bậc hai đã cho vô nghiệm.

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

+  Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

+ Nếu ∆ = 0 và $x_0=-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x₀.

+ Nếu ∆ > 0 và x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) (x₁ < x₂) thì:

• f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x₁; x₂);

• f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁), (x₂; +∞).

Chú ý:

+ Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;

Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4: Xác định dấu của f(x).

+ Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆' thay cho biệt thức ∆.

Ví dụ: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² + 6x – 9;

b) f(x) = –2x² + 8x + 10;

c) f(x) = 4x² + 8x + 4;

d) f(x) = –3x² + 2x – 1.

Hướng dẫn giải

a) f(x) = 3x² + 6x – 9

f(x) có a = 3 > 0 và ∆' = 3² – 3.(–9) = 36 > 0.

Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{36}}{3}=1$ và  $x_1=\frac{-3-\sqrt{36}}{3}=-3$

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Vậy, f(x) dương trong khoảng (–∞; –3) và (1; +∞);

f(x) âm trong khoảng (–3; 1).

b) f(x) = –2x² + 8x + 10

f(x) có a = –2 < 0 và ∆' = 4² – (–2).10 = 36 > 0.

Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-4+\sqrt{36}}{-2}=-1$ và  $x_2=\frac{-4-\sqrt{36}}{-2}=5$

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Vậy, f(x) âm trong khoảng (–∞; –1) và (5; +∞);

f(x) dương trong khoảng (–1; 5).

c) f(x) = 4x² + 8x + 4

f(x) có a = 4 > 0 và ∆' = 4² – 4.4 = 0.

Khi đó f(x) có nghiệm kép là $x=\frac{-4}{4}=-1$   

Vậy, f(x) dương với mọi x ≠ –1.

d) f(x) = –3x² + 2x – 1.

f(x) có a = –3 < 0 và ∆' = 1² – (–3).(–1) = –2 < 0.

Vậy f(x) âm với mọi x ∈ ℝ.

3. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:

ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c > 0, với a ≠ 0.

Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.

Ví dụ: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = –2 và x = 3 có phải là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) 2x² – 7x – 15 < 0;

b) 3 – 2x² + x³ > 0;

c) x² – 4x + 3 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) 2x² – 7x – 15 < 0

Bất phương trình trên là bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax² + bx + c < 0 với a = 2, b = –7, c = –15.

• Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có:

2.(–2)² – 7.(–2) – 15 < 0

$\Rightarrow$ 7 < 0. Đây là bất đẳng thức sai.

Do đó x = –2 không là nghiệm của bất phương trình.

• Với x = 3 thay vào bất phương trình ta có:

2.3² – 7.3 – 15 < 0

$\Rightarrow$ –18 < 0. Đây là bất đẳng thức đúng.

Do đó x = 3 là nghiệm của bất phương trình.

b) 3 – 2x² + x³ > 0

Bất phương trình trên không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có chứa x³.

c) x² – 4x + 3 ≥ 0.

Bất phương trình trên là bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax² + bx + c ≥ 0 với a = 1, b = –4, c = 3.

• Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có:

(–2)² – 4.(–2) + 3 ≥ 0$\iff$ 15 ≥ 0. Đây là bất đẳng thức đúng.

Do đó x = –2 là nghiệm của bất phương trình.

• Với x = 3 thay vào bất phương trình ta có:

3² – 4.3 + 3 ≥ 0$\Rightarrow$ 0 ≥ 0. Đây là bất đẳng thức đúng.

Do đó x = 3 là nghiệm của bất phương trình.

– Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.

Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) x² – 3x + 2 < 0;

b) –2x² + 3x – 7 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) x² – 3x + 2 < 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x + 2

Ta có ∆ = (–3)² – 4.1.2 = 1 > 0

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 1 và x₂ = 2.

Vì a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấu f(x) < 0 $\iff$ x ∈ (1; 2).

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (1; 2).

b) –2x² + 3x – 7 ≥ 0.

Xét tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 3x – 7

Ta có ∆ = 3² – 4.(–2).(–7) = –47 < 0.

Mặt khác a = –2 < 0

Do đó f(x) < 0 với mọi x.

Khi đó không có giá trị nào của x thỏa mãn f(x) ≥ 0.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

4. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+f}$  ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax² + bx + c = dx² + ex + f

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x+1}$

Hướng dẫn giải

 $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x+1}$    (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:

x² + 3x – 2 = x + 1

$\Rightarrow$ x² + 2x – 3 = 0

x = 1 hoặc x = –3.

• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:

$\sqrt{1^2+3.1-2}=\sqrt{1+1}$$\iff \sqrt{2}=\sqrt{2}$ (đúng)

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

• Với x = –3 ta thấy x + 1 = –3 +1 = –2 < 0 nên không tồn tại $\sqrt{x+1}.$

Do đó x = –3 không là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

5. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình: ax² + bx + c = dx +e

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$  

Hướng dẫn giải

 $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$      (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

4 + 2x – x² = (x – 2)²

$\Rightarrow$ 4 + 2x – x² = x² – 4x + 4

$\Rightarrow$ 2x² – 6x = 0

$\Rightarrow$ 2x(x – 3) = 0

$\Rightarrow$ x = 0 hoặc x = 3

• Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được:

 $\sqrt{4+2.0-0^2}=0-2$$\iff$2 = –2 (vô lí)

Do đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (2).

• Với x = 3 thay vào phương trình (2) ta được:

$\sqrt{4+2.3-3^2}=3-2$$\iff$1 = 1 (đúng)

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.