Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Phương trình quy về phương trình bậc hai

7.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai chi tiết sách Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng ax2 + bx + c=dx2 + ex + f

Giải toán lớp 10 trang 15 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 15 Toán lớp 10:

Khởi động trang 15 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế làm mất căn bậc hai

Bước 2: Rút gọn và giải phương trình vừa tìm được

Bước 3: Thử lại nghiệm vừa tìm được và kết luận

Lời giải:

Ta có điều kiện hiểu nhiên x>0

x21=12x2+1x21=14(x2+1)34x254=0

x=±53

Thử lại, kết hợp điều kiện của x ta thấy x=53 thỏa mãn phương trình.

Vậy khi x=53 thì OA=12OC

Khám phá 1 trang 15 Toán lớp 10: Lời giải cho phương trình 2x22x+11=x2+3 như sau đúng hai sai?

2x22x+11=x2+3           

2x22x+11=x2+3 (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

x2+2x8=0  (chuyển vế, rút gọn)

x=2 hoặc x=4  (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4

Lời giải:

Thay x=2 vào phương trình 2x22x+11=x2+3 ta thấy không thỏa mãn vì dưới dấu căn là 1 không thỏa mãn

Vậy x=2 không là nghiệm của phương trình do đó lời giải như trên là sai.

Giải toán lớp 10 trang 16 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 16 Toán lớp 10: Giải phương trình 31x258x+1=10x211x19

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn

Bước 2: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn

Bước 3: Giải phương trình nhận được ở bước 2

Bước 4: Thử lại xem nghiệm đã tìm được ở bước 3 có thỏa mãn phương trình không và kết luận

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

31x258x+1=10x211x1931x258x+1=10x211x1921x247x+20=0

x=53 hoặc x=47

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý khi giải: sau khi bình phương hai vế thì các bước giải tiếp theo chỉ được sử dụng dấu suy ra không được sử dụng dấu tương đương (vì tập nghiệm của chúng có thể không giống nhau)

2. Phương trình dạng ax2 + bx + c=dx + e 

Khám phá 2 trang 16 Toán lớp 10: Lời giải cho phương trình x2+x+1=x như sau đúng hai sai?

x2+x+1=x               

x2+x+1=x2  (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

2x2+x+1=0   (chuyển vế, rút gọn)

x=1 hoặc x=12 (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và 12

Phương pháp giải:

Thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu ta có:

+) Thay x=1 vào phương trình x2+x+1=x ta thấy thảo mãn phương trình

+) Thay x=12 vào x2+x+1=x ta thấy không thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x=1, suy ra lời giải như trên là sai.

Thực hành 2 trang 16 Toán lớp 10: Giải phương trình 3x2+27x41=2x+3

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn

Bước 2: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn

Bước 3: Giải phương trình nhận được ở bước 2

Bước 4: Thử lại và kết luận

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

3x2+27x41=(2x+3)2

3x2+27x41=4x2+12x+9

x215x+50=0

x=5 và x=10

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình 3x2+27x41=2x+3 ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=5 và x=10

Giải toán lớp 10 trang 17 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Vận dụng trang 17 Toán lớp 10: Cho tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a) OC=3OA;

b) OC=54OB

Vận dụng trang 17 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý pitago để biểu diễn độ dài OC và OA qua OB

Bước 2: Lập phương trình theo giả thiết OC=3OA;OC=54OB

Bước 3: Giải phương trình

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh OB là x cm (x>0)

Theo giả thiết ta có AB=BC=OB1=x1

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OAB và OBC ta có:

OC=OB2+BC2=x2+(x1)2=2x22x+1

OA=OB2AB2=x2(x1)2=2x1

a) OC=3OA2x22x+1=32x1

2x22x+1=9(2x1)2x220x+10=0

x=525 và x=5+25

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình 2x22x+1=32x1 ta thấy cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi OB=525 hoặc OB=5+25thì OC=3OA

b) OC=54OB2x22x+1=54x

2x22x+1=2516x2716x22x+1=0

x=47 hoặc x=4                

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình 2x22x+1=54x ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi OB=47 hoặc OB=4 (cm) thì  OC=54OB     

Bài tập (trang 17)

Bài 1 trang 17 Toán lớp 10: Giải các phương trình sau:

a) 11x214x12=3x2+4x7

b) x2+x42=2x30

c) 2x2x1=x2+2x+5

d) 3x2+x17x2+2x5=0

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn

Bước 2: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn

Bước 3: Giải phương trình nhận được ở bước 2

Bước 4: Thử lại nghiệm và kết luận

Lời giải:

a) 11x214x12=3x2+4x7

11x214x12=3x2+4x78x218x5=0

x=14 và x=52

Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình 11x214x12=3x2+4x7 ta thấy chỉ có nghiệm x=52 thảo mãn phương trình

Vậy nhiệm của phương trình đã cho là x=52

b) x2+x42=2x30

x2+x42=2x3x2x12=0

x=3 và x=4

Thay vào phương trình x2+x42=2x30  ta thấy  không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c) 2x2x1=x2+2x+5

4.(x2x1)=x2+2x+53x26x9=0

x=1 và x=3

Thay hai nghiệm trên vào phương trình 2x2x1=x2+2x+5 ta thấy cả hai nghiệm đếu thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình 2x2x1=x2+2x+5 là x=1 và x=3

d) 3x2+x17x2+2x5=0

3x2+x1=7x2+2x59.(x2+x1)=7x2+2x52x2+7x4=0

x=4 và x=12

Thay hai nghiệm trên vào phương trình 3x2+x17x2+2x5=0 ta thấy chỉ có nghiệm x=4 thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình trên là x=4

Bài 2 trang 17 Toán lớp 10: Giải các phương trình sau:

a) x2+3x+1=3

b) x2x4=x+2

c) 2+122x=x

d) 2x23x10=5

Phương pháp giải:

Bước 1: Chuyển biểu thức có căn về một vế

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn

Bước 3: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn

Bước 4: Giải phương trình nhận được ở bước 2

Bước 5: Thử lại nghiệm và kết luận

Lời giải:

a) x2+3x+1=3

x2+3x+1=9x2+3x8=0

x=3412 và x=3+412

Thay hai nghiệm trên vào phương trình x2+3x+1=3 ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=3412 và x=3+412

b) x2x4=x+2

x2x4=(x+2)2x2x4=x2+4x+45x=8x=85

Thay x=85 và phương trình x2x4=x+2 ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=85

c) 2+122x=x

122x=x2122x=(x2)2122x=x24x+4x22x8=0

x=2 và x=4

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình 2+122x=x thì thấy chỉ có x=4 thỏa mãn

Vậy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho.

d) Ta có biểu thức căn bậc hai luôn không âm nên 2x23x100xR

2x23x10=5 (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3 trang 17 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2 cm.

a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB

b) Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Đặt độ dài cạnh AB là x (x>0), biểu diễn AC theo AB

    Bước 2: Áp dụng định lý Pitago biểu diễn cạnh BC

b) Bước 1: Lập biểu thức tính chu vi của tam giác

    Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được

Lời giải:

Bài 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Đặt độ dài cạnh AB là x (x>0)

Theo giả thiết ta có độ dài AC=AB+2=x+2

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ta có

BC=AB2+AC2=x2+(x+2)2=2x2+4x+4

b) Chu vi của tam giác là C=AB+AC+BC

C=x+(x+2)+2x2+4x+4=2x+2+2x2+4x+4

Theo giả thiết ta có

C=242x+2+2x2+4x+4=242x2+4x+4=222x2x2+4x+4=(222x)22x2+4x+4=4x288x+4842x292x+480=0

x=6 hoặc x=40

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình 2x2+4x+4=222x ta thấy chỉ có  x=6 thỏa mãn phương trình

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là AB=6;AC=8 và BC=10(cm)

Bài 4 trang 17 Toán lớp 10: Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60. Trên bờ biển có hai đài quan sát A  B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng 1km và 2km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng 45 khoảng cách từ tàu đến A

c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.

Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. 

Bài 4 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lý cosin a2=b2+c2+2bccosA

b) Lập phương trình MB=45MA, và giải phương trình lập được

c) Lập phương trình MB=MO0,5, và giải phương trình lập được

Lời giải:

a) Đặt độ dài của MO là x km (x>0)

Ta có: MOA^+MOB^=180 (hai góc bù nhau) MOA^=120

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ta tính được:

+) Khoảng cách từ tàu đến B là MB=x2+222.2.x.cos60=x22x+4

+) Khoảng cách từ tàu đến A là MA=x2+122.1.x.cos120=x2+x+1

b) Theo giải thiết ta có phương trình MB=45MAx22x+4=45x2+x+1

x22x+4=1625(x2+x+1)925x26625x+8425=0

x1,64 và x5,69

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình x22x+4=45x2+x+1 ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi  x1,64 hoặc x5,69 thì khoảng cách từ tàu đến B bằng 45 khoảng cách từ tàu đến A

c) Đổi 500 m = 0,5 km

Theo giả thiết ta có phương trình sau:

MB=MO0,5x22x+4=x0,5x22x+4=(x0,5)2x22x+4=x2x+14x=154

Thay x=154 vào phương trình x22x+4=x0,5 ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy khi x=154 thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng ax2+bx+c=dx2+ex+f

Để giải phương trình ax2+bx+c=dx2+ex+f  ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụGiải phương trình sau: x2+3x2=x+1

Hướng dẫn giải

 x2+3x2=x+1    (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:

x2 + 3x – 2 = x + 1

 x2 + 2x – 3 = 0

x = 1 hoặc x = –3.

• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:

12+3.12=1+12=2 (đúng)

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

• Với x = –3 ta thấy x + 1 = –3 +1 = –2 < 0 nên không tồn tại x+1.

Do đó x = –3 không là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

2. Phương trình dạng ax2+bx+c=dx+e

Để giải phương trình ax2+bx+c=dx+e ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax2 + bx + c = dx +e

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụGiải phương trình sau: 4+2xx2=x2  

Hướng dẫn giải

 4+2xx2=x2      (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

4 + 2x – x2 = (x – 2)2

 4 + 2x – x2 = x2 – 4x + 4

 2x2 – 6x = 0

 2x(x – 3) = 0

 x = 0 hoặc x = 3

• Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được:

 4+2.002=022 = –2 (vô lí)

Do đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (2).

• Với x = 3 thay vào phương trình (2) ta được:

4+2.332=321 = 1 (đúng)

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

Đánh giá

0

0 đánh giá