Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1: Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với $x\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml.

Lời giải:

a) Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là: $m=30.100+8x=8x+3000\left(mg\right)$

Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là: $V=30+x\left(ml\right)$

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa là:

$C\left(x\right)=\frac{m}{V}=\frac{8x+3000}{30+x}\left(mg/ml\right)$

b) Khảo sát hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ với $x\ge 0$.

1. Tập xác định của hàm số: $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Sự biến thiên:

$C^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2760}{{\left(x+30\right)}^2}<0\mathrm{\forall }x\ge 0$

Hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{8x+3000}{x+30}=8$.

Do đó, đồ thị hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ nhận đường thẳng $y=8$ làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;100).

Đồ thị hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ đi qua các điểm (200; 20); $\left(120;\frac{132}{5}\right)$.

Đồ thị của hàm số $y=C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}$ với $x\ge 0$ là phần nét màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì $C^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2760}{{\left(x+30\right)}^2}<0\mathrm{\forall }x\ge 0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{8x+3000}{x+30}=8$ nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml