Với giải Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x+1$;
b) $y=x^3+3x^2-x-1$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+3,y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$

Trên khoảng $\left(-1;1\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-1$

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); $\left(-1;-1\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x-1,y^{\prime }=0\iff x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$

Trên khoảng $\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}$.

Giới hạn tại vô cực:$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$ với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); $\left(1;2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).