Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở $8\mathrm{\Omega }$ được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là $x\left(\mathrm{\Omega }\right)$ thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số $y=R\left(x\right),x>0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8\mathrm{\Omega }$.

Lời giải:

Khi một điện trở $8\mathrm{\Omega }$ được mắc song song với một biến trở $x\left(\mathrm{\Omega }\right)$ thì điện trở tương đương của mạch là: $R\left(x\right)=\frac{8x}{x+8}\left(\mathrm{\Omega }\right)$

Vẽ đồ thị hàm số $y=R\left(x\right)=\frac{8x}{x+8}$ với $x>0$.

1. Tập xác định của hàm số: $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Sự biến thiên:

$R^{\prime }\left(x\right)=\frac{64}{{\left(x+8\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x>0$

Hàm số đồng trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}R\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{8x}{x+8}=8$.

Do đó, đồ thị hàm số $y=R\left(x\right)=\frac{8x}{x+8}$ với $x>0$ nhận đường thẳng $y=8$ làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

Đồ thị hàm số $y=R\left(x\right)=\frac{8x}{x+8}$ đi qua các điểm (8; 4); $\left(12;\frac{24}{5}\right)$.

a) Vì $R^{\prime }\left(x\right)=\frac{64}{{\left(x+8\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x>0$ nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch tăng.

b) Vì $R^{\prime }\left(x\right)=\frac{64}{{\left(x+8\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}R\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{8x}{x+8}=8$ nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8\mathrm{\Omega }$.