Luyện tập 2 trang 23 Toán 9 Tập 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Lời giải:

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là $x;y$ giờ $\left(x,y>0\right).$

Một giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút $=\frac{4}{3}$ giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được $1:\frac{4}{3}=\frac{3}{4}$ (bể).

Nên ta có phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}.\left(1\right)$

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút $=\frac{1}{6}$ giờ) thì vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{6}.\frac{1}{x}=\frac{1}{6x}$ (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút $=\frac{1}{5}$ giờ) thì vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{5}.\frac{1}{y}=\frac{1}{5y}$ (bể).

Thì hai vòi chảy được $\frac{2}{15}$ bể nước.

Nên ta có phương trình $\frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\end{array}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $\frac{1}{5}$ ta được $\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}=\frac{3}{20}$, từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}=\frac{3}{20}\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\end{array}$

Trừ từng vế của hai phương trình ta được $\left(\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}\right)-\left(\frac{1}{6x}+\frac{1}{5x}\right)=\frac{3}{20}-\frac{2}{15}$ suy ra $\frac{1}{30x}=\frac{1}{60}$ nên $x=2\left(t/m\right).$

Với $x=2$ thay vào phương trình (1) ta được $\frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$ nên $y=4\left(t/m\right).$

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

Lý thuyết Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( $x,y>0;x>y$ và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+y=60\\ 3x-3y=60\end{array}\\ \{\begin{array}{l}3x+3y=180\\ 3x-3y=60\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=40\\ y=20\end{array}$

($x=40;y=20$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc $40(km/h)$, xe đi chậm có vận tốc $20(km/h)$.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho ($x\in \mathbb{N}$,$0<x\le 9$ ,$0\le x\le 9$)

Khi đó hai số có dạng $\overline{xy}=10x+y$ và $\overline{yx}=10y+x.$

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ 10y+x-18=10x+y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x-y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=7\end{array}$

Vậy số cần tìm là 57.