Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 18: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) chi tiết sách Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 18: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Mở đầu trang 4 Toán 9 Tập 2: Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) như Hình 6.1 và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao CH của dây cáp biết điểm H cách tâm O của cây cầu 100 m (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Vì các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) được treo trên các đỉnh tháp nên đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm B(200; 75).

Thay x = 200 và y = 75 vào hàm số y = ax², ta được:

75 = a . 200², hay 40 000a = 75, suy ra a = 0,001875 (thỏa mãn a ≠ 0).

Khi đó ta có hàm số y = 0,001875x².

Chiều cao CH của dây cáp chính là tung độ của điểm C thuộc đồ thị hàm số y = 0,001875x².

Thay hoành độ điểm C là x = 100 vào hàm số y = 0,001875x², ta được:

y = 0,001875 . 100² = 18,75.

Vậy chiều cao CH của dây cáp là 18,75 mét.

1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

HĐ1 trang 5 Toán 9 Tập 2: Khi thả một vật rơi tự do và bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động s (mét) của vật được cho bằng công thức s = 4,9t², trong đó t là thời gian chuyển động của vật (giây).

a) Hoàn thành bảng sau vào vở:

b) Giả sử một vật rơi tự do từ độ cao 19,6 m so với mặt đất. Hỏi sau bao lâu vật chạm đất?

Lời giải:

a) Thay t = 0 vào công thức s = 4,9t², ta được: s = 4,9 . 0² = 0.

Thay t = 1 vào công thức s = 4,9t², ta được: s = 4,9 . 1² = 4,9.

Thay t = 2 vào công thức s = 4,9t², ta được: s = 4,9 . 2² = 19,6.

Ta hoàn thành được bảng như sau:

b) Vật rơi tự do từ độ cao 19,6 mét so với mặt đất tức là quãng đường chuyển động của vật là s = 19,6 (m).

Từ bảng kết quả câu a, ta thấy khi t = 2 (giây) thì s = 19,6 (mét).

Vậy nếu một vật rơi tự do từ độ cao 19,6 m so với mặt đất thì sau 2 giây vật sẽ chạm đất.

HĐ2 trang 5 Toán 9 Tập 2:

a) Viết công thức tính diện tích S của hình tròn bán kính r.

b) Hoàn thành bảng sau vào vở (lấy π = 3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Lời giải:

a) Công thức tính diện tích S của hình tròn bán kính r là:

S = πr² (đơn vị diện tích).

b) Thay r = 1 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 1² = 3,14.

Thay r = 2 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 2² = 12,56.

Thay r = 3 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 3² = 28,26.

Thay r = 4 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 4² = 50,24.

Ta hoàn thành được bảng như sau:

Luyện tập 1 trang 5 Toán 9 Tập 2: Cho hàm số $y=-\frac{3}{2}{x}^2.$ Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

Lời giải:

Thay lần lượt các giá trị x = –3; x = –2; …; x = 3 vào hàm số $y=-\frac{3}{2}{x}^2.$ ta được bảng giá trị:

Vận dụng 1 trang 5 Toán 9 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a (cm) và chiều cao 15 cm.

a) Viết công thức tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi a = 5 cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình chóp thay đổi thế nào?

Lời giải:

a) Thể tích của hình chóp tứ giác đều đó là: V = $\frac{1}{3}$.a².15 = 5a² (cm³).

Vậy công thức tính thể tích V của hình chóp theo a là: V = 5a² (cm³).

Khi a = 5, thay vào công thức V = 5a², ta được:

V = 5 . 5² = 125 (cm³).

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì độ dài cạnh đáy lúc này là 2a.

Khi đó, thể tích của hình chóp tứ giác đều này là:

V' = $\frac{1}{3}$.(2a)².15 = 20a² = 4V (cm³).

Vậy nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình chóp tăng lên 4 lần.

2. Đồ thị của hàm số y = ax² (a≠0)

HĐ3 trang 6 Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = 2x².

a) Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2x²) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = 2x².

Lời giải:

a) Thay lần lượt các giá trị x = –3; x = –2; …; x = 3 vào hàm số y = 2x², ta được bảng giá trị:

b) Biểu diễn các điểm (–3; 18); (–2; 8); (–1; 2); (0; 0); (1; 2); (2; 8) và (3; 18) trong bảng giá trị ở câu a và các điểm (x; 2x²) với x ∈ ℝ trên mặt phẳng tọa độ Oxy, sau đó nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = 2x² như sau:

HĐ4 trang 6 Toán 9 Tập 2: Xét đồ thị của hàm số y = 2x² đã vẽ ở HĐ3 (H.6.3).

a) Đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục hoành? Điểm nào là điểm thấp nhất của đồ thị?

b) So sánh hoành độ và tung độ của các cặp điểm thuộc đồ thị: A(1; 2) và A’(–1; 2); B(2; 8) và B’(–2; 8). Từ đó hãy nhận xét mối liên hệ về vị trí giữa các điểm nêu trên.

c) Tìm điểm C có hoành độ x = $\frac{1}{2}$ thuộc đồ thị. Xác định tọa độ của điểm C’ đối xứng với điểm C qua trục tung Oy và cho biết điểm C’ có thuộc đồ thị đã cho hay không.

Lời giải:

a) Đồ thị nằm phía trên trục hoành. Điểm thấp nhất của đồ thị là gốc tọa độ O(0; 0).

b) ⦁ Xét cặp điểm A(1; 2) và A’(–1; 2): Hai điểm này có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau.

⦁ Xét cặp điểm B(2; 8) và B’(–2; 8): Hai điểm này có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau.

→ Nhận xét: Hai điểm (x; y) và (–x; y) đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) ⦁ Gọi $C\left(\frac{1}{2};y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = 2x². Do đó x = $\frac{1}{2}$ và y = y₀ thỏa mãn hàm số y = 2x².

Thay x = $\frac{1}{2}$ và y = y₀ vào hàm số y = 2x², ta được: $y_0=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.$

Vì vậy ta có điểm $C\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$

Theo kết quả nhận xét của câu b, ta xác định được tọa độ của điểm C’ đối xứng với điểm C qua trục tung Oy là C'$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$

⦁ Xét điểm C'$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$:

Thay hoành độ x = -$\frac{1}{2}$ vào hàm số y = 2x², ta được: $y=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2},$ bằng tung độ của điểm C’.

Vậy điểm C'$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ thuộc đồ thị hàm số = 2x².

Luyện tập 2 trang 8 Toán 9 Tập 2: Vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2.$ Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 2 và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Lời giải:

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

Biểu diễn các điểm (–2; 2); (–1; 0,5); (0; 0); (1; 0,5) và (2; 2) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ như hình vẽ dưới đây:

Ta có y = 2 nên $\frac{1}{2}{x}^2=2,$ hay x² = 4. Suy ra x = 2 hoặc x = –2.

Vậy ta có hai điểm cần tìm là (–2; 2) và (2; 2). Hai điểm này đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

Vận dụng 2 trang 8 Toán 9 Tập 2: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải:

Vì các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) được treo trên các đỉnh tháp nên đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm B(200; 75).

Thay x = 200 và y = 75 vào hàm số y = ax², ta được:

75 = a . 200², hay 40 000a = 75, suy ra a = 0,001875 (thỏa mãn a ≠ 0).

Khi đó ta có hàm số y = 0,001875x².

Chiều cao CH của dây cáp chính là tung độ của điểm C thuộc đồ thị hàm số y = 0,001875x².

Thay hoành độ điểm C là x = 100 vào hàm số y = 0,001875x², ta được:

y = 0,001875 . 100² = 18,75.

Vậy chiều cao CH của dây cáp là 18,75 mét.

Bài tập

Bài 6.1 trang 8 Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = 0,25x². Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

Lời giải:

Thay lần lượt các giá trị x = –3; x = –2; …; x = 3 vào hàm số y = 0,25x², ta được bảng giá trị:

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tính chiều cao và xác định khoảng cách

Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

Luyện tập chung trang 18

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lý thuyết Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Nhận biết hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Ví dụ 1.

– Khi thả một vật rơi tự do và bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động s (mét) của vật được cho bằng công thức s = 4,9t², trong đó t (giây) là thời gian chuyển động của vật.

– Công thức tính diện tích S của hình tròn bán kính r là: S = π.r².

Những công thức tính s theo t, tính S theo r trong Ví dụ 1 biểu thị những hàm số có cùng một dạng, gọi là hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Nhận xét: Hàm số y = ax² (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị x thuộc ℝ.

Ví dụ 2. Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = –4x²:

Hướng dẫn giải

Thay x = –3 vào hàm số y = –4x², ta có y = –4.(–3)² = –36.

Tương tự, ta thay lần lượt các giá trị x = –2; x = –1; x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 vào hàm số y = –4x², ta hoàn thành được bảng sau:

2. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

2.1. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bước 1. Lập bảng ghi một số cặp giá trị tương ứng của x và y.

Bước 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các cặp điểm (x; y) trong bảng giá trị trên và nối chúng lại để được một đường cong là đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2}{5}{x}^2.$

Hướng dẫn giải

Lập bảng một số giá trị tương ứng của x và y:

Biểu diễn các điểm $\left(-3;\frac{18}{5}\right),$$\left(-2;\frac{8}{5}\right),$$\left(-1;\frac{2}{5}\right),$$\left(0;0\right),$$\left(1;\frac{2}{5}\right),$$\left(2;\frac{8}{5}\right),$$\left(3;\frac{18}{5}\right)$trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại, ta được đồ thị hàm số $y=\frac{2}{5}{x}^2$như hình vẽ dưới.

2.2. Nhận biết tính đối xứng của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong, gọi là đường parabol, có các tính chất sau:

⦁ Có đỉnh là gốc tọa độ O;

⦁ Có trục đối xứng là Oy;

⦁ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0.

Chú ý: Hai điểm (x; y) và (–x; y) đối xứng nhau qua trục tung Oy.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = –3x² có đồ thị là parabol như hình vẽ.

a) Hai điểm A(1; –3) và B(–1; –3) có thuộc parabol đã cho không?

b) Nhận xét về tính đối xứng giữa hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: –3 = 3.1² (đúng). Suy ra A(1; –3) thuộc parabol đã cho.

Tương tự, ta có: –3 = 3.(–1)² (đúng). Suy ra B(–1; –3) thuộc parabol đã cho.

Vậy hai điểm A(1; –3) và B(–1; –3) thuộc parabol đã cho.

b) Hai điểm A(1; –3) và B(–1; –3) đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

Nhận xét:

⦁ Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta cần xác định tối thiểu 5 điểm thuộc đồ thị là gốc tọa độ O và hai cặp điểm đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

⦁ Do đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) nhận trục tung Oy là trục đối xứng nên ta có thể lập bảng giá trị của hàm số này với những giá trị x không âm và vẽ phần đồ thị tương ứng ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.