Giải SGK Toán 7 Bài 28 (Kết nối tri thức): Phép chia đa thức một biến

8.7 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 40 Tập 2

1. Làm quen với phép chia đa thức

HĐ 1 trang 40 Toán lớp 7: Tìm thương của mỗi phép chia sau

a) 12x3 : 4x

b) (-2x4 ) : x4

c) 2x5 : 5x2

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia 2 hệ số

Bước 2: Chia 2 lũy thừa của biến

Bước 3: Nhân 2 kết quả trên, ta được thương

Lời giải:

a) 12x3 : 4x = (12:4) . (x3 : x) = 3.x2

b) (-2x4 ) : x4 = [(-2) : 1] . (x4 : x4) = -2

c) 2x5 : 5x2 = (2:5) . (x5 : x2) = 25x3

HĐ 2 trang 40 Toán lớp 7: Giả sử x 0. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào ( của hai số mũ) thì thương hai lũy thừa của x cũng là một lũy thừa của x với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

xm:xn=xmn

Lời giải:

a) Do xm:xn=xmn nên muốn thương hai lũy thừa của x cũng là một lũy thừa của x với số mũ nguyên dương, tức là m – n > 0 thì m > n

b) Ta có: xm:xm=xmm=x0=1

Vậy thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng 1

Luyện tập 1 trang 40 Toán lớp 7: Thực hiện các phép chia sau:

a)3x7:12x4;b)(2x):xc)0,25x5:(5x2)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia 2 hệ số

Bước 2: Chia 2 lũy thừa của biến

Bước 3: Nhân 2 kết quả trên, ta được thương

Trả lời:

a)3x7:12x4=(3:12).(x7:x4)=6x3b)(2x):x=[(2):1].(x:x)=2c)0,25x5:(5x2)=[0,25:(5)].(x5:x2)=0,05.x3

Giải Toán 7 trang 41 Tập 2

2. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Câu hỏi trang 41 Toán lớp 7: Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A : B = 2x2 – 5x + 1, nghĩa là xảy ra A = B . (2x2 – 5x + 1)

Phương pháp giải:

Nhân đa thức B với đa thức 2x2 – 5x + 1. Nếu kết quả bằng đa thức A thì đúng

Lời giải:

Ta có: B . (2x2 – 5x + 1)

= (x2 – 4x – 3) . (2x2 – 5x + 1)

= x2 .(2x2 – 5x + 1) – 4x . (2x2 – 5x + 1) – 3.(2x2 – 5x + 1)

= x2 . 2x2 + x2 . (-5x) + x2 . 1 – [4x . 2x2 + 4x . (-5x) + 4x . 1] – [3.2x2 + 3.(-5x) + 3.1]

= 2x4 – 5x3 + x2 – ( 8x3 – 20x2 + 4x) – (6x2 – 15x + 3)

= 2x4 – 5x3 + x2 – 8x3 + 20x2 - 4x – 6x2 + 15x - 3

= 2x4 + (-5x3 – 8x3) + (x2 + 20x2 – 6x2 ) + (-4x + 15x) – 3

= 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

=A

Vậy ta có phép chia hết A : B = 2x2 – 5x + 1

Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia

a) (-x6 + 5x4 – 2x3) : (0,5x2)

b) (9x2 – 4) : (3x + 2)

Phương pháp giải:

Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

Lời giải:

a) (-x6 + 5x4 – 2x3) : (0,5x2)

= (-x6 : 0,5x2) + (5x4 : 0,5x2) + (-2x3 : 0,5x2)

= -2x4 + 10x2 – 4x

b)

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vân dụng trang 41 Toán lớp 7: Vận dụng giải bài toán tròn tính huống mở đầu

Tìm đa thức P sao cho A = B. P, trong đó A = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 và B = x2 – 2

Phương pháp giải:

+)  P = A : B

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

Lời giải:

Ta có: A = B . P nên P = A : B

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Giải Toán 7 trang 42 Tập 2

3. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

HĐ 3 trang 42 Toán lớp 7: Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E

Phương pháp giải:

Mô tả lại các bước tương tự như chia đa thức cho đa thức trường hợp chia hết.

Lời giải:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của D chia cho hạng tử bậc cao nhất của E.

Bước 2: Lấy D trừ đi tích của E với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của E

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích E với thương vừa thu được ở bước 3. Ta được dư thứ hai có bậc nhỏ hơn bậc của E thì quá trình chia kết thúc.

HĐ 4 trang 42 Toán lớp 7: Kí hiệu dư thứ hai là G = - 6x + 10 . Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đa thức bậc n không chia được cho đa thức bậc m (n < m)

Lời giải:

Lúc này phép chia không thực hiện được nữa vì bậc của đa thức -6x + 10 (là 1) nhỏ hơn bậc của đa thức chia x2 + 1 (là 2)

HĐ 5 trang 42 Toán lớp 7: Hãy kiểm tra lại đẳng thức D = E . (5x – 3) + G

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức E .(5x – 3)

Bước 2: Thực hiện phép cộng đa thức tìm được ở bước 1 với đa thức G

Nếu kết quả = đa thức D thì đúng

Lời giải:

Ta có: E . (5x – 3) + G

= (x2 + 1) . (5x – 3) + (-6x + 10)

= x2 .(5x – 3) + 1. (5x – 3) + (-6x) + 10

= x2 . 5x + x2 . (-3) + 5x – 3 – 6x + 10

= 5x3 – 3x2 + (5x – 6x) + (-3 + 10)

= 5x3 – 3x2 – x + 7

= D

Vậy đẳng thức đúng.

Luyện tập 3 trang 42 Toán lớp 7: Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A= 3x4 – 6x – 5 cho đa thức B = x2 + 3x – 1 rồi viết A dưới dạng A = B . Q + R

Phương pháp giải:

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

+) Viết A = B. Q + R

Lời giải:

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Vậy A = (x2 + 3x – 1) . (3x2 – 9x + 30)  -105x + 25

Thử thách nhỏ trang 42 Toán lớp 7: Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 4)

Phương pháp giải:

Xét phép chia (A + B) : C với bậc của B nhỏ hơn bậc của C

Nếu A chia C không dư thì số dư của (A + B) : C là B

Lời giải:

Ta có: x3 – 3x2 + x – 1 =  (x3 – 3x2) + (x -1).

Vì x3 – 3x2 chia cho x2 – 3x không dư ; bậc của x – 1 nhỏ hơn bậc của x2 – 3x nên số dư của phép chia (x3 – 3x2) + (x -1) cho x2 – 3x là x – 1

Vậy Vuông làm nhanh và đúng.

Giải Toán 7 trang 43 Tập 2

a) 8x5 : 4x3

b) 120x7 : (-24x5)

c) 34(x)3:18x

d) -3,72x4 : (-4x2)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia 2 hệ số

Bước 2: Chia 2 lũy thừa của biến

Bước 3: Nhân 2 kết quả trên, ta được thương

Lời giải:

a) 8x5 : 4x3 = (8 : 4) . (x5 : x3) = 2.x2

b) 120x7 : (-24x5) = [120 : (-24)] . (x7 : x5) = -5.x2

c) 34(x)3:18x=34x3:18x=(34:18).(x3:x)=6x2

d) -3,72x4 : (-4x2) = [(-3,72) : (-4)] . (x4 : x2) = 0,93x2

a) (-5x3 + 15x2 + 18x) : (-5x)

b) (-2x5 – 4x3 + 3x2) : 2x2

Phương pháp giải:

Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi tổng các kết quả thu được.

Lời giải:

a) (-5x3 + 15x2 + 18x) : (-5x)

= (-5x3) : (-5x) + 15x2 : (-5x) + 18x : (-5x)

= [(-5): (-5)] . (x3 : x) + [15 : (-5)] . (x2 : x) + [18 : (-5)]. (x : x)

=  x2 – 3x - 185

b) (-2x5 – 4x3 + 3x2) : 2x2

= (-2x5 : 2x2) + (-4x3 : 2x2) + (3x2 : 2x2)

= [(-2) : 2] . (x5 : x2) + [(-4) : 2] . (x3 : x2) + (3 : 2) . (x2 : x2)

= -x3 – 2x + 32

Bài 7.32 trang 43 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia

a) (6x3 – 2x2 – 9x + 3) : (3x – 1)

b) (4x4 + 14x3 – 21x – 9) : (2x2 – 3)

Phương pháp giải:

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

Lời giải:

a)

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 5)b)

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 6)

Bài 7.33 trang 43 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia 0,5x5 + 3,2x3 – 2x2 cho 0,25xn  trong mỗi trường hợp sau:

a) n = 2

b) n = 3

Phương pháp giải:

Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi tổng các kết quả thu được.

Lời giải:

a) (0,5x5 + 3,2x3 – 2x2 ) : 0,25x2

= 0,5x5 : 0,25x2 + 3,2x3 : 0,25x2 + (2x2 : 0,25x2)

= (0,5:0,25).(x5 : x2) + (3,2 : 0,25). (x3 : x2 ) + (2 : 0,25). (x2 : x2)

= 2x3 + 12,8x + 4

b) (0,5x5 + 3,2x3 – 2x2 ) : 0,25x3

Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Bài 7.34 trang 43 Toán lớp 7: Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi biểu diễn F(x) dưới dạng:

F(x) = G(x) . Q(x) + R(x)

a) F(x) = 6x4 – 3x3 + 15x2 + 2x – 1 ; G(x) = 3x2

b) F(x) = 12x4 + 10x3 – x – 3 ; G(x) = 3x2 + x + 1

Phương pháp giải:

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

+) Viết A = B. Q + R

Lời giải:

a)

Thương Q(x) = 2x2 – x + 5

Dư R(x) = 2x – 1

Ta có: F(x) = 3x2 . (2x2 – x + 5) + 2x – 1

b)

Thương Q(x) = 4x2 + 2x – 2

Dư R(x) = -x – 1

Ta có: F(x) = (3x2 + x + 1) . (4x2 + 2x – 2) – x – 1

Bài 7.35 trang 43 Toán lớp 7: Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức 21x – 4 cho 3x2. Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Phương pháp giải:

Khi đa thức bị chia có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia thì thương là 0, số dư là đa thức chia

Lời giải:

Chia đa thức 21x – 4 cho 3x2 được thương là 0, dư 21x – 4

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

Luyện tập chung trang 44

Bài tập cuối chương 7

Bài 29: Làm quen với biến cố

Lý thuyết Phép chia đa thức một biến

1. Làm quen phép chia đa thức

• Cho hai đa thức A và B (B ≠ 0). Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q (hay AB=Q), trong đó

A là đa thức bị chia;

B là đa thức chia (kí hiệu B ≠ 0 có nghĩa B không phải là đa thức không).

Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

• Cho hai đơn thức axm và bxn (m; n ∈ ℕ, a; b ∈ ℝ, b ≠ 0).

Khi đó nếu m ≥ n thì ta có phép chia axm cho bxn là phép chia hết và ta có:

axm : bxn = abxm – n (quy ước: x0 = 1).

Ví dụ:

+ Tính 3x7 : 12x4 ta làm như sau: 3x7 : 12x4 = 3:12x74 = – 6x3.

Chú ý:

• axm : bxn được hiểu là axm : (bxn)

Chẳng hạn: 4x5 : 2x2 được hiểu là 4x5 : (2x2).

2. Chia đa thức cho đa thức

• Muốn chia một đa thức cho một đa thức, ta đặt tính và chia (tương tự phép chia hai số tự nhiên) cho đến khi được đa thức dư là đa thức không, hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

• Khi đặt tính chia, nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

• Nếu chia đa thức A cho đa thức B, ta được đa thức thương là Q, đa thức dư là R thì:

+ Đa thức dư R = 0 (khi chia hết) hoặc R là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức B (nếu không chia hết).

+ Ta có đẳng thức: A = B.Q + R.

Ví dụ:

+ Cho A = 2x3 – 5x2 + 6x – 15; B = 2x – 5. Để tính A : B ta làm như sau:

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 28: Phép chia đa thức một biến (ảnh 1)

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức A cho đa thức B là phép chia hết, có đa thức thương là x2 + 3.

+ Cho đa thức P = 5x3 – 3x2 + x – 7; Q(x) = x2 + 1. Để tính P : Q ta làm như sau

Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 28: Phép chia đa thức một biến (ảnh 2)

Dư cuối cùng có bậc thấp hơn bậc của đa thức chia nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức P cho đa thức Q là phép chia có dư, có đa thức thương là 5x – 3, đa thức dư là – 4x – 4.

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức có thể không cần đặt tính chia.

Chẳng hạn chia đa thức 6x3 – 2x2 + x cho đơn thức 0,5x, ta làm như sau:

(6x3 – 2x2 + x) : 0,5x

= 6x3 : 0,5x – 2x2 : 0,5x + x : 0,5x

= 12x2 – 4x + 2.

Đánh giá

0

0 đánh giá