Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Giải SBT Toán 7 trang 34 Tập 2

Bài 7.25 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Tìm số tự nhiên n sao cho đa thức 1,2x⁵ − 3x⁴ + 3,7x² chia hết cho xⁿ.

Lời giải:

Đa thức đã cho chia hết cho xⁿ nếu từng hạng tử của nó chia hết cho xⁿ, nói riêng là 3,7x² chia hết cho xⁿ. Điều này xảy ra khi n ≤ 2.

Mà n là số tự nhiên nên n $\in$ {0; 1; 2}.

Vậy n $\in$ {0; 1; 2} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 7.26 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Thực hiện các phép chia sau:

a) (−4x⁵ + 3x³ − 2x²) : (−2x²);

b) (0,5x³ − 1,5x² + x) : 0,5x;

c) (x³ + 2x² − 3x + 1) : $\frac{1}{3}$ x².

Lời giải:

a) (−4x⁵ + 3x³ − 2x²) : (−2x²)

= (−4x⁵) : (−2x²) + (3x³) : (−2x²)+ (−2x²) : (−2x²)

= 2x³ − 1,5x + 1

b) (0,5x³ − 1,5x² + x) : 0,5x

= 0,5x³ : 0,5x + (−1,5x²) : 0,5x + x : 0,5x

= x² − 3x + 2

c) (x³ + 2x² − 3x + 1) : $\frac{1}{3}$ x²

Ta có thể viết : x³ + 2x² − 3x + 1 = (3x + 6) $\frac{1}{3}$x² + (−3x + 1)

Do đa thức – 3x + 1 có bậc là 1, nhỏ hơn bậc 2 của đa thức chia nên đẳng thức này chứng tỏ 3x + 6 là thương và – 3x + 1 là dư trong phép chia đã cho.

Bài 7.27 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Đặt tính và làm phép chia sau:

a. (x³ − 4x² − x + 12) : (x − 3)

b. (2x⁴ − 3x³ + 3x² + 6x − 14) : (x² − 2)

Lời giải:

a) (x³ − 4x² − x + 12) : (x − 3)

Vậy kết quả của phép chia (x³ − 4x² − x + 12) : (x − 3) bằng x² − x − 4.

b) (2x⁴ − 3x³ + 3x² + 6x − 14) : (x² − 2)

Vậy kết quả phép chia (2x⁴ − 3x³ + 3x² + 6x − 14) : (x² − 2) bằng 2x² −3x + 7

Bài 7.28 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Khi làm phép chia (6x³ − 7x² − x + 2) : (2x + 1) , bạn Quỳnh cho kết quả đa thức dư là 4x + 2.

a) Không làm phép chia, hãy cho biết bạn Quỳnh đúng hay sai, tại sao?

b) Tìm thương và dư trong phép chia đó.

Lời giải:

a) Quỳnh sai. Vì bậc của đa thức dư, nếu khác 0, phải nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

b) (6x³ − 7x² − x + 2) : (2x + 1)

Vậy thương của phép chia (6x³ − 7x² − x + 2) : (2x + 1) bằng 3x² − 5x + 2 dư 0.

Bài 7.29 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức A = 3x⁴ + x³ + 6x −5 và B = x² + 1. Tìm thương Q và dư R trong phép chia A cho B rồi kiểm nghiệm lại rằng A = BQ + R.

Lời giải:

Thực hiện phép chia (3x⁴ + x³ + 6x −5) : (x² + 1)

Vậy phép chia (3x⁴ + x³ + 6x −5) : (x² + 1) có thương Q = 3x² + x − 3 và dư R = 5x − 2

Kiểm nghiệm BQ + R = (x² + 1)(3x² + x − 3) + 5x − 2

= x²( 3x² + x − 3) + 1. (3x² + x − 3) + 5x − 2

= 3x⁴ + x³ − 3x² + 3x² + x − 3 + 5x − 2

= 3x⁴ + x³ + (−3x² + 3x²) + (x + 5x) + (−3 − 2)

= 3x⁴ + x³ + 6x −5 = A

Vậy A = BQ + R là một đẳng thức đúng.

Bài 7.30 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Thực hiện các phép chia sau:

a) (2x⁴ + x³ − 3x² + 5x − 2) : (x² − x + 1)

b) (x⁴ − x³ − x² + 3x) : (x² − 2x +3)

Lời giải:

a) (2x⁴ + x³ − 3x² + 5x − 2) : (x² − x + 1)

Vậy phép chia (2x⁴ + x³ − 3x² + 5x − 2) : (x² − x + 1) có thương là 2x² + 3x − 2.

b) (x⁴ − x³ − x² + 3x) : (x² − 2x +3)

Vậy phép chia (x⁴ − x³ − x² + 3x) : (x² − 2x +3) có thương là x² + x − 2 và dư −4x + 6.

Bài 7.31 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Cho đa thức A(x) = 3x⁴ + 11x³ − 5x² − 19x − 5 . Tìm đa thức H(x) sao cho:

A(x) = (3x² + 2x − 5).H(x)

Lời giải:

Ta có A(x) = (3x² + 2x − 5).H(x)

H(x) = A(x) :  (3x² + 2x − 5) = (3x⁴ + 11x³ − 5x² − 19x − 5) : (3x² + 2x − 5)

Vậy H(x) = x² + 3x − 2.

Bài 7.32 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Tìm số m sao cho đa thức P(x) = 2x³ – 3x² + x + m chia hết cho đa thức x + 2.

Lời giải:

Thực hiện phép chia P(x) : (x + 2)

Để phép chia này là phép chia hết thì m − 30 = 0.

Vậy m = 30.

Bài 7.33 trang 34 SBT Toán 7 Tập 2: Cho đa thức P(x). Chứng minh rằng:

a) Nếu P(x) chia hết cho x – a thì a là một nghiệm của đa thức P(x).

b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x – a.

Lời giải:

a) Giả sử P(x) chia hết cho x – a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có:

P(x) = (x − a)Q(x) (1)

Từ đẳng thức (1), ta có P(a) = (a − a)Q(a) = 0.

Vậy a là một nghiệm của P(x).

b) Ngược lại, cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x – a, ta được thương là Q(x) và dư là R(x), nghĩa là ta có:

P(x) = (x – a)Q(x) + R(x) (2)

Trong đó hoặc R(x) = 0, hoặc nếu R(x) ≠ 0 thì R(x) phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức x – a, tức là nhỏ hơn 1.

Sau đây, ta sẽ chứng tỏ rằng chỉ có thể xảy ra R(x) = 0.

Thật vậy, nếu R(x) ≠ 0 thì do bậc của R(x) nhỏ hơn 1 nên R(x) có bậc 0. Nói cách khác, R(x) là một số khác 0 nào đó. Nhưng điều đó là vô lí vì khi đó đẳng thức (2) không thể xảy ra, chẳng hạn khi x = a thì vế trái bằng 0 trong khi vế phải khác 0.

Vậy chỉ có thể xảy ra R(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x – a.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

SBT Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

SBT Toán 7 Ôn tập cuối chương 7

SBT Toán 7 Bài 29: Làm quen với biến cố

SBT Toán 7 Bài 30: Làm quen với xác suất của biến cố

Lý thuyết Phép chia đa thức một biến

1. Làm quen phép chia đa thức

• Cho hai đa thức A và B (B ≠ 0). Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q (hay $\frac{A}{B}=Q$), trong đó

A là đa thức bị chia;

B là đa thức chia (kí hiệu B ≠ 0 có nghĩa B không phải là đa thức không).

Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

• Cho hai đơn thức ax^m và bxⁿ (m; n ∈ ℕ, a; b ∈ ℝ, b ≠ 0).

Khi đó nếu m ≥ n thì ta có phép chia ax^m cho bxⁿ là phép chia hết và ta có:

ax^m : bxⁿ = $\frac{a}{b}$x^{m – n} (quy ước: x⁰ = 1).

Ví dụ:

+ Tính 3x⁷ : $\left(-\frac{1}{2}{x}^4\right)$ ta làm như sau: 3x⁷ : $\left(-\frac{1}{2}{x}^4\right)$ = $\left(3:\frac{-1}{2}\right)x^{7-4}$ = – 6x³.

Chú ý:

• ax^m : bxⁿ được hiểu là ax^m : (bxⁿ)

Chẳng hạn: 4x⁵ : 2x² được hiểu là 4x⁵ : (2x²).

2. Chia đa thức cho đa thức

• Muốn chia một đa thức cho một đa thức, ta đặt tính và chia (tương tự phép chia hai số tự nhiên) cho đến khi được đa thức dư là đa thức không, hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

• Khi đặt tính chia, nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

• Nếu chia đa thức A cho đa thức B, ta được đa thức thương là Q, đa thức dư là R thì:

+ Đa thức dư R = 0 (khi chia hết) hoặc R là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức B (nếu không chia hết).

+ Ta có đẳng thức: A = B.Q + R.

Ví dụ:

+ Cho A = 2x³ – 5x² + 6x – 15; B = 2x – 5. Để tính A : B ta làm như sau:

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức A cho đa thức B là phép chia hết, có đa thức thương là x² + 3.

+ Cho đa thức P = 5x³ – 3x² + x – 7; Q(x) = x² + 1. Để tính P : Q ta làm như sau

Dư cuối cùng có bậc thấp hơn bậc của đa thức chia nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức P cho đa thức Q là phép chia có dư, có đa thức thương là 5x – 3, đa thức dư là – 4x – 4.

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức có thể không cần đặt tính chia.

Chẳng hạn chia đa thức 6x³ – 2x² + x cho đơn thức 0,5x, ta làm như sau:

(6x³ – 2x² + x) : 0,5x

= 6x³ : 0,5x – 2x² : 0,5x + x : 0,5x

= 12x² – 4x + 2.