Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải SBT Toán 11 trang 22

Bài 1 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $3^{2x+1}=\frac{1}{27}$;

b) 5^2x = 10;

c) 3^x = 18;

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$;

e) 5^3x = 25^{x – 2};

g) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{x-1}$.

Lời giải:

a) 3^{2x + 1} = 3^{– 3}

⇔ 2x + 1= –3 (do 3 > 1)

⇔ x = – 2.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 5^2x =10

⇔ 2x = log₅ 10

⇔ x = $\frac{1}{2}{\log }_{5}10$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{1}{2}{\log }_{5}10$.

c) 3^x = 18 ⇔ x = log₃ 18

Vậy phương trình có nghiệm là x = log₃ 18.

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$

⇔ $5^{1-x}=5^{-\frac{3}{2}}$

⇔ 1 - x = $\frac{-3}{2}$ (do 5 > 1)

⇔ x = $\frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{5}{2}$.

e) 5^3x = 25^x–2

⇔ 5^3x = 5^2x–4

⇔ 3x = 2x – 4 (do 5 > 1)

⇔ x = – 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = – 4.

g) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{x-1}$

⇔ ${\left(2^{-3}\right)}^{x+1}={\left(2^{-5}\right)}^{x-1}$

⇔ $2^{-3(x+1)}=2^{-5x+5}$

⇔ –3x – 3 = –5x + 5 (do 2 > 1)

⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

Bài 2 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) log₃ (2x - 1) = 3;

b) log₄₉ x = 0,25;

c) log₂ (3x + 1) = log₂ (2x - 4);

d) log₅ (x - 1) + log₅ (x - 3) = log₅ (2x + 10);

e) log x + log (x – 3) = 1;

g) log₂ (log₈₁ x) = -2.

Lời giải:

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0

Ta có: log₃ (2x - 1) = 3

⇔ 2x - 1 = 3³ = 27

⇔ x = 14 (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: log₄₉ x = 0,25

⇔ ${\log }_{7^2}x=\frac{1}{4}$

⇔ $\frac{1}{2}{\log }_{7}x=\frac{1}{4}$

⇔ ${\log }_{7}x=\frac{1}{2}$

⇔ x = $\sqrt{7}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {$\sqrt{7}$}.

c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\right.\Rightarrow x>1$

Ta có: log₂ (3x + 1) = log₂ (2x - 4)

⇔ 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)

⇔ x = – 5 (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-3>0\\ 2x+10>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>3\\ x>-5\end{array}\right.\Rightarrow x>3$

Ta có: log₅ (x - 1) + log₅ (x - 3) = log₅ (2x + 10)

⇔ ${\log }_5\left[(x-1)(x-3)\right]={\log }_5(2x+10)$

⇔ ${\log }_5\left(x^2-4x+3\right)={\log }_5(2x+10)$

⇔ x² ­– 4x + 3 = 2x + 10 (do 2 >1)

⇔ x² – 6x – 7 = 0.

⇔ x = 7 (nhận) hoặc x = –1 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-3>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>3\end{array}\right.\Rightarrow x>3$

Ta có: log x + log (x – 3) = 1

⇔ log [x(x – 3)] = 1

⇔ log (x² – 3x)=1

⇔ x² – 3x – 10 = 0 (do 10 >1)

⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\right.\Rightarrow x>1$

Ta có: log₂ (log₈₁ x) = -2

⇔ log₈₁ x = 2^-2 ⇔ x = ${81}^{2^{-2}}$ = 3 (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $4^x<2\sqrt{2}$;

b) ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$;

c) $5.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<40$;

d) 4^2x < 8^{x –1};

e) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$;

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}_.

Lời giải:

a) Ta có: $4^x<2\sqrt{2}$

⇔ $2^{2x}<2\sqrt{2}$

⇔ $2x<{\log }_{2}2\sqrt{2}$

⇔ $2x<\frac{3}{2}$

⇔ $x<\frac{3}{4}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)$.

b) Ta có: ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$

⇔ $3^{-\frac{1}{2}(x-1)}\ge 3^{-2}$

⇔ $-\frac{1}{2}(x-1)\ge -2$ (do 3 > 1)

⇔ x ≤ 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞; 5].

c) $5.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<40$

⇔ 2^-x < 8

⇔ 2^-x < 2³

⇔ x > -3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-3; +∞).

d) 4^2x < 8^{x – 1}

⇔ 2^4x < 2^{3x – 3}

⇔ 4x < 3x – 3 (do 2 > 1)

⇔ x < – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞; -3).

e) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$

⇔ 5^x-2 ≤ 5^-2x

⇔ x - 2 ≤ -2x (do 5 >1)

⇔ 3x ≤ 2 ⇔ x ≤ $\frac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ; \frac{2}{3}\right]$.

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}

⇔ 0,5^{2(x - 2)} > 0,5^{x + 1}

⇔ 2(x –2) < x +1 (do 0 < 0,5 < 1)

⇔ x < 5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞; 5).

Bài 4 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) log₃ (x + 4) < 2;

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4$;

c) ${\log }_{0,25}(x-1)\le -1$;

d) ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$;

e) $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$;

g) $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$.

Lời giải:

a) Điều kiện: x > –4

Ta có: log₃ (x + 4) < 2 ⇔ x + 4 < 9 ⇔ x < 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (–4; 5).

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4\iff x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\iff x\le \frac{1}{16}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(0;\frac{1}{16}\right]$.

c) Điều kiện: x > 1

Ta có: log_0,25 (x - 1) ≤ -1

⇔ x - 1 ≥ (0,25)^-1 (do 0 < 0, 5 < 1)

⇔ x - 1 ≥ 4

⇔ x ≥ 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left[5; +\infty \right)$.

d) Điều kiện: $x^2-24x>0\iff \left[\begin{array}{l}x<0\\ x>24\end{array}\right.$

Ta có: ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$

⇔ x² - 24x ≥ 25

⇔ x² - 24x - 25 ≥ 0 (Do 5 > 1)

⇔ $\left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 25\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[25;+\infty \right)$.

e) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 3x+7>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{-7}{3}\end{array}\right.\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$${\log }_{\frac{1}{4}}{(x+1)}^2\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

⇔ x² + 2x + 1 ≤ 3x + 7 (do cơ số $0<\frac{1}{2}<1$)

⇔ x² - x - 6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (−1; 3].

g) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+7>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>-7\end{array}\right.\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_3\left(3(x+7)\right)$

⇔ ${(x+1)}^2\le 3x+21$ (do cơ số 2 > 1)

⇔ (x + 1)² ≤ 3x + 21

⇔ x² + 2x + 1 ≤ 3x + 21

⇔ x² - x - 20 ≤ 0

⇔ -4 ≤ x ≤ 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (–1; 5].

Bài 5 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 4^x – 5.2^x + 4 = 0;

b) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-27=0$;

Lời giải:

a) 4^x – 5.2^x + 4 = 0;

Đặt t = 2^x (t > 0).

Khi đó: t² – 5t + 4 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=4\\ t=1\end{array}\right.$

=> $\left[\begin{array}{l}{2}^x=4\\ 2^x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x={\log }_{2}4=2\\ x={\log }_{2}1=0\end{array}\right.$.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 2.

b) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-27=0$

⇔ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^x{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}-27=0$

⇔ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-6{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-27=0$

Đặt t = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ (t > 0).

Khi đó, ta có: t² - 6t + 27 ⇔ t = 9 (nhận) hoặc t = –3 (loại)

Do đó ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ = 9 ⇔ 3^–x = 3² ⇔ x = –2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = –2.

Giải SBT Toán 11 trang 23

Bài 6 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn log₃ (x - 2) . log₃ (x - 1) < 0.

Lời giải:

Từ giả thiết, nhận được 1 < log₃ x < 2 hay 3 < x < 9.

Do đó, ta có các số nguyên cần tìm là 4; 5; 6; 7; 8.

Bài 7 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = f(x) = $\sqrt{4-2^x}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$;

b) y = f(x) = $\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$.

Lời giải:

a) y = f(x) = $\sqrt{4-2^x}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$

Điều kiện xác định:

$\left\{\begin{array}{l}4-2^x\ge 0\\ {\log }_{2}x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{2}^x\le 4\\ x>2^0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le {\log }_{2}4\\ x>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x>1\end{array}\right.$

Tập xác định: D = (1; 2].

b) y = f(x) = $\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$

Điều kiện xác định:

$\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x-2\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^0\end{array}\right.$

=> $\left\{\begin{array}{l}x>2\\ x\le 3\end{array}\right.\Rightarrow 2<x\le 3$

Tập xác định: D = (2; 3].

Bài 8 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = log₂ x. Biết rằng f(b) – f(a) = 5 (a, b > 0), tìm giá trị của $\frac{b}{a}$.

Lời giải:

Ta có f(b) - f(a) = log₂ b - log₂ a = ${\log }_2\left(\frac{b}{a}\right)$ = 5

⇔ $\frac{b}{a}$ = 2⁵ = 32.

Vậy $\frac{b}{a}$ = 32

Bài 9 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai số thực a và b thỏa mãn 125^a . 25^b = 3. Tính giá trị của biểu thức:

P = 3a + 2b.

Lời giải:

Ta có: 125^a . 25^b = 3

⇔ 5^3a . 5^2b = 3

⇔ 5^3a+2b = 3

⇔ 3a + 2b = log₅ 3.

Bài 10 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Đồng vị phóng xạ Uranium - 235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kỳ bán rã là T = 703 800 000 năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium - 235 thì sau t năm, do bị phân rã, lượng Uranium - 235 còn lại được tính bởi công thức M = $100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}$ (g). Sau thời gian bao lâu thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu?

Lời giải:

Lượng Uranium - 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu là 90 g.

Khi đó M = 90 g, ta có phương trình:

$90=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}$ = 0,9

⇔ $\frac{1}{T}={\log }_{\frac{1}{2}}0,9$ ⇔ t = $T.{\log }_{\frac{1}{2}}0,9\approx 106 979 777$ (năm).

Vậy sau khoảng 106 979 777 năm thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu.

Bài 11 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililit nước chứa P₀ vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước có 9 000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước là 6 000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000?

Lời giải:

$6 000=9 {000.10}^{-2\alpha }\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2}\log \frac{6 000}{9 000}$

=> $\alpha =-\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}$

Để số lượng vi khuẩn trong mỗi milit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000, ta có: $9 {000.10}^{-\alpha t}\le 1 000$

⇔ ${10}^{-\alpha t}\le \frac{1}{9}\iff -\alpha t\le \log \frac{1}{9}$

⇔ $t\ge -\frac{2}{\alpha }\log \frac{1}{3}=\frac{2}{\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}}.\log \frac{1}{3}$ = $\frac{4\log 3}{\log \frac{3}{2}}\approx 10,8$ (giờ).

Vậy sau khoảng 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000.

Bài 12 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = – log x, trong đó x là nồng độ ion H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A?

Lời giải:

Ta có: pH_A = – log x_A; pH_B = – log x_B

Khi đó pH_A – pH_B = – logx_A + logx_B = $\log \frac{x_B}{x_A}$

Do đó $\log \frac{x_B}{x_A}=0,7\Rightarrow \frac{x_B}{x_A}\approx {10}^{0,7}\approx 5$ (lần)

Vậy dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp 5 lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: