Với lời giải SBT Toán 11 trang 58 Tập 1 chi tiết trong Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=\frac{2n-13}{3n-2};$

b) $u_n=\frac{n^2+3n+1}{n+1};$

c) $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}.$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$ nên $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-13}{3\left(n+1\right)-2}=\frac{2n-11}{3n+1}$

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}$

$=\frac{\left(2n-11\right)\left(3n-2\right)-\left(2n-13\right)\left(3n+1\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}$

$=\frac{6n^2-37n+22-\left(6n^2-37n-13\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}$

$=\frac{35}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}.$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{\frac{2}{3}\left(3n-2\right)-\frac{35}{3}}{3n-2}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}$

⦁ Do $n\ge 1\Rightarrow 3n-2\ge 1\Rightarrow \frac{35}{3\left(3n-2\right)}\le \frac{35}{3}$$\Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}\ge \frac{2}{3}-\frac{35}{3}=-11$

⦁ Do $n\ge 1\Rightarrow 3n-2\ge 1>0\Rightarrow \frac{35}{3\left(3n-2\right)}>0$$\Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}<\frac{2}{3}$

Suy ra $-11\le u_n<\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$, suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{n^2+3n+1}{n+1}$

Nên $u_{n+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2+3\left(n+1\right)+1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{n^2+5n+5}{n+2}$

$u_{n+1}-u_n=\frac{n^2+5n+5}{n+2}-\frac{n^2+3n+1}{n+1}$

$=\frac{\left(n^2+5n+5\right)\left(n+1\right)-\left(n^2+3n+1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{n^3+n^2+5n^2+5n+5n+5-\left(n^3+2n^2+3n^2+6n+n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{n^2+3n+3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>\mathrm{0,}\forall n\in \mathbb{N}\text{*}$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_n>\frac{n^2+2n+1}{n+1}=n+1\ge \mathrm{2,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}$

Nên $u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(n+1\right)+{\left(n+1\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}}=\sqrt{\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}}<\mathrm{1,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}\text{. }$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n\ge 1;n^2\ge 1\Rightarrow 1+n+n^2\ge 3\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0<u_n\le \frac{1}{\sqrt{3}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=n-\sqrt{n^2-1};$

b) $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2};$

c) $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}.$

Lời giải:

a) Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\left[\left(n+1\right)-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)$

$=1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}-\sqrt{n^2-1}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Suy ra u_n+1 < u_n

Do đó $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2},$ ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.$.

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có:

u_n+1 - u_n = $\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{{3.3}^n-1}{{2.2}^n}-\frac{3^n-1}{2^n}$

          $=\frac{{3.3}^n-1-2\left(3^n-1\right)}{{2.2}^n}=\frac{{3.3}^n-1-{2.3}^n+2}{{2.2}^n}$

          $=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*.$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}.$

Lời giải:

Ta có:

 $$\begin{gathered} u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}; \\ {u}_{n+1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2} \end{gathered}$$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa: 
$u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n},\forall n\in \mathbb{N}*.$

Ta có: $1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n}$

            $=1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$

            $=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

            $=1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}$

Do đó $u_n<2-\frac{1}{n},$ nên u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.