Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1
Lời giải:
Ta có:
+) D là trung điểm của BC nên
+) E là trung điểm của AC nên
Do đó
+) Vì nên
Mà
+) (quy tắc hiệu)
Vậy và
Lời giải:
Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành
Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông
Þ OC = AB
Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)
Þ AB2 = a2 + a2 = 2a2
+) Có: (quy tắc hình bình hành)
+) Có:
+) Lấy điểm D sao cho nên hai vectơ , cùng hướng và OD = 2OB.
Có:
Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó
Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)
Þ OE2 = (2OB)2 + OA2
Þ OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2
Do đó
+) Lấy điểm G sao cho
Khi đó: hai vectơ , cùng hướng và OG = 2OA;
Và hai vectơ , cùng hướng và OH = 3OB.
Có:
Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)
Þ HG2 = (2OA)2 + (3OB)2
Þ HG2 = (2a)2 + (3a)2
Þ HG2 = 13a2
Do đó
Vậy và
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
Lời giải:
a) Kẻ đường kính AD.
Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên
Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC
Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB
Þ BH /// CD và CH // BD
Þ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Þ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)
Mà M là trung điểm của BC
Þ M là trung điểm của HD
Mà O là trung điểm của AD
Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD
Þ OM // AH và (tính chất đường trung bình)
Do đó hai vectơ và có:
+ Cùng phương, cùng hướng
+ Độ dài:
Vậy
b) Vì M là trung điểm của BC nên
Mà (câu a)
Vậy
c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
Mà (câu b)
Suy ra
Khi đó và cùng phương, cùng hướng
Þ O, H, G thẳng hàng.
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Lời giải:
Với điểm O bất kì ta có:
+) (do M là trung điểm của AB)
+) (do N là trung điểm của CD)
+) (do I là trung điểm của MN)
Þ
Vậy với điểm O bất kì đều có:
Lời giải:
+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Þ MN // AC và (tính chất đường trung bình)
Do đó (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có: (2)
Và (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
(quy tắc ba điểm)
(quy tắc ba điểm)
Do đó
+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Khi đó ta có: và hay
Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:
+) Lại có (chứng minh trên)
Nên
Suy ra G và G' trùng nhau.
Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Chứng minh rằng
Lời giải:
Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.
Tam giác ABC đều nên
Mà PQ // AB nên
HK // AC nên
Tam giác MQK có: nên là tam giác đều.
Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến
Do đó D là trung điểm của QK
(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
+) (2)
+) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành
Tương tự ta có
Khi đó
Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên
Vậy
Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho
Lời giải:
a)
Gọi I là trung điểm của AB.
Khi đó:
Gọi K là trung điểm của IC, khi đó:
Mà
Do đó
Suy ra M ≡ K.
Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).
b)
Ta có:
Gọi H là trung điểm của AC, khi đó
Giả sử P là điểm thỏa mãn
Khi đó
Mà
Nên
Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho
Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành
Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn và P thỏa mãn , H là trung điểm của AC).
Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1
Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K thoả mãn
b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn
Lời giải:
a)
Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.
Khi đó và
Mà
Nên
Khi đó và là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và
Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.
Vậy ta có điểm K thỏa mãn như hình vẽ.
b)
Chứng minh tương tự câu a ta có:
Mà (câu a)
Nên
Lại có:
Do đó
Û 6MK = CB
Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng như hình vẽ.
Lời giải:
Trọng lực của vật và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật được mô tả như hình vẽ trên.
Do vật ở trạng thái cân bằng nên hai lực và ngược hướng nhau và có cường độ bằng nhau.
Gọi d và d' là trọng lượng riêng của vật và chất lỏng;
V là thể tích của vật
Khi thả vật vào cốc chất lỏng thì ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng nên thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ là
Khi đó trọng lượng của vật là: P = d.V
Và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật là:
Do đó
Vậy tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng bằng
Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ
Lý thuyết Tích của một vectơ với một số
1. Tích của một vectơ với một số
• Tích của một vectơ với một số thực k > 0 là một vectơ, kí hiệu là k , cùng hướng với vectơ và có độ dài bằng k .
Ví dụ: Cho hình vẽ sau:
– Vectơ cùng hướng với vectơ và =
– Vectơ cùng hướng với vectơ và = .
• Tích của một vectơ với một số thực k < 0 là một vectơ, kí hiệu là k , ngược hướng với vectơ và có độ dài bằng (–k) ||.
Ví dụ: Cho hình sau:
– Vectơ –2 ngược hướng với vectơ và =
– Vectơ ngược hướng với vectơ và = .
Chú ý: Ta quy ước k = nếu = hoặc k = 0.
Nhận xét: Vectơ k có độ dài bằng |k||| và cùng hướng với nếu k ≥ 0, ngược hướng với nếu ≠ và k < 0.
Chú ý: Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vectơ).
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ , và hai số thực k, t, ta luôn có :
+) k(t) = (kt) ;
+) k ( + ) = k + k; k ( – ) = k – k;
+) (k + t) = k + t;
+) 1 = ; (–1) = –.
Nhận xét:
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
Ví dụ:
a) Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có .
b) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có .
Hướng dẫn giải
a) Vì I là trung điểm của CD nên ta có .
Do đó = 2 + ()= 2 + = 2.
Vậy, .
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: .
Ta có
=
Vậy .
Chú ý : Cho hai vectơ không cùng phương và . Khi đó, mọi vectơ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho = x + y.
Ví dụ : Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M để .
Hướng dẫn giải
Để xác định vị trí của M, trước hết ta biểu thị (với gốc A đã biết) theo hai vectơ đã biết .
⇔
⇔
⇔
Lấy điểm E là trung điểm của AB và điểm F thuộc cạnh AC sao cho .
Khi đó và . Vì vậy .
Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.