Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau OA + OB, OA

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau OA + OB, OA - OB

Với giải Bài 4.14 trang 54 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\vec{O A} + \vec{O B},$ $\vec{O A} - \vec{O B},$ $\vec{O A} - \vec{O B},$ $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} .$

Lời giải:

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

Þ OC = AB

Mà AB² = OA² + OB²(định lí Pythagoras)

Þ AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow O C = A B = a \sqrt{2}$

+) Có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{O A} + \vec{O B}| = |\vec{O C}| = O C = a \sqrt{2}$

+) Có:

$\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{B O} = \vec{B O} + \vec{O A} = \vec{B A}$

$\Rightarrow |\vec{O A} + \vec{O B}| = |\vec{O C}| = O C = a \sqrt{2}$

+) Lấy điểm D sao cho $\vec{O D} = 2 \vec{O B}$ nên hai vectơ $\vec{O D}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O D}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O E}$

$\Rightarrow |\vec{O A} + 2 \vec{O B}| = |\vec{O E}| = O E$

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

Þ OE² = (2OB)² + OA²

Þ OE² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow O E = a \sqrt{5}$

Do đó $|\vec{O A} + 2 \vec{O B}| = a \sqrt{5}$

+) Lấy điểm G sao cho $\vec{O G} = 2 \vec{O A}, \vec{O H} = 3 \vec{O B}$

Khi đó: hai vectơ $\vec{O G}$ , $\vec{O A}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\vec{O H}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} = \vec{O G} - \vec{O H}$

$= \vec{O G} + \vec{H O}$ $= \vec{H O} + \vec{O G}$

$= \vec{H G}$

$\Rightarrow |2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}| = |\vec{H G}| = H G$

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

Þ HG² = (2OA)² + (3OB)²

Þ HG² = (2a)² + (3a)²

Þ HG² = 13a²

$\Rightarrow H G = a \sqrt{13}$

Do đó $|2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}| = a \sqrt{13} .$

Vậy $|\vec{O A} + \vec{O B}| = a \sqrt{2};$ $|\vec{O A} - \vec{O B}| = a \sqrt{2};$ $|\vec{O A} + 2 \vec{O B}| = a \sqrt{5}$ và $|2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}| = a \sqrt{13} .$