Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

3 K

Với lời giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 chi tiết trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ AB,BC,CA theo hai vectơ AD và BE 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên AB+AC=2AD 

+) E là trung điểm của AC nên AC=2AE 

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì AB+AC=2AD nên AC=2ADAB

Mà 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) BC=ACAB (quy tắc hiệu)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 

Vậy AB=23AD23BE; BC=23AD+43BE và CA=43AD23BE.

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau OA+OB, OAOB, OAOB, 2OA3OB. 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

Þ OC = AB

Mà AB2 = OA2 + OB(định lí Pythagoras)

Þ AB2 = a2 + a2 = 2a2

OC=AB=a2 

+) Có: OA+OB=OC (quy tắc hình bình hành)

OA+OB=OC=OC=a2 

+) Có:

OAOB=OA+BO=BO+OA=BA 

OA+OB=OC=OC=a2

+) Lấy điểm D sao cho OD=2OB nên hai vectơ ODOB cùng hướng và OD = 2OB.

Có: OA+2OB=OA+OD

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó OA+OD=OE

OA+2OB=OE=OE 

Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)

Þ OE2 = (2OB)2 + OA2

Þ OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2

OE=a5 

Do đó OA+2OB=a5

+) Lấy điểm G sao cho OG=2OA,OH=3OB 

Khi đó: hai vectơ OGOA cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ OHOB cùng hướng và OH = 3OB.

Có: 2OA3OB=OGOH

=OG+HO =HO+OG 

=HG

2OA3OB=HG=HG 

Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)

Þ HG2 = (2OA)2 + (3OB)2

Þ HG2 = (2a)2 + (3a)2

Þ HG2 = 13a2

HG=a13 

Do đó 2OA3OB=a13.

Vậy OA+OB=a2;OAOB=a2;OA+2OB=a5 và 2OA3OB=a13.

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM. 

b) Chứng minh rằng OA+OB+OC=OH. 

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90° 

Hay BD  AB, CD  AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH  AC, CH  AB

Þ BH /// CD và CH // BD

Þ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Þ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

Þ M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

Þ OM // AH và AH=2.OM (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ AH và OM có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: AH=2OM 

AH=2OM.

Vậy AH=2OM.

b) Vì M là trung điểm của BC nên OB+OC=2OM 

Mà AH=2OM (câu a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy OA+OB+OC=OH.

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC=3OG.

Mà OA+OB+OC=OH (câu b)

Suy ra OH=3OG 

Khi đó OH và OG cùng phương, cùng hướng

Þ O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

OA+OB+OC+OD=4OI. 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Với điểm O bất kì ta có:

+) OA+OB=2OM (do M là trung điểm của AB)

+) OC+OD=2ON (do N là trung điểm của CD)

+) OM+ON=2OI (do I là trung điểm của MN)

Þ OA+OB+OC+OD=2OM+2ON

=2OM+ON=2.2OI=4OI 

Vậy với điểm O bất kì đều có: OA+OB+OC+OD=4OI. 

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Þ MN // AC và MN=12AC (tính chất đường trung bình)

Do đó MN=12AC                                                (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có: PQ=12CE         (2)

Và RS=12EA                                                       (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MN+PQ+RS=12AC+12CE+12EA

=12AC+CE+EA 

=12AE+EA (quy tắc ba điểm)

=12AA                 (quy tắc ba điểm)

=12.0=0

Do đó MN+PQ+RS=0

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: MG+PG+RG=0 và NG'+QG'+SG'=0 hay G'N+G'Q+G'S=0

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

MN+PQ+RS=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=0+3.GG'+0

=3.GG'

+) Lại có MN+PQ+RS=0 (chứng minh trên)

Nên 3GG'=0

GG'=0

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=60°

Mà PQ // AB nên MQK^=ABC^=60°,

HK // AC nên MKQ^=ACB^=60°

Tam giác MQK có: MQK^=MKQ^=60° nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

MQ+MK=2MD               (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) MH+MI=2MF                 (2)

+) MP+MJ=2ME                 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MQ+MK+MH+MI+MP+MJ=2MD+2MF+2ME

2MD+MF+ME=MQ+MI+MK+MJ+MH+MP

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

MI+MQ=MB

Tương tự ta có MK+MJ=MC;MH+MP=MA

Khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên MB+MC+MA=3MO

MD+MF+ME=12.3MO=32MO.

Vậy MD+ME+MF=32MO.

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:       

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho MA+MB+2MC=0.

b) Xác định điểm N thoả mãn 4NA2NB+NC=0.

Lời giải:

a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: MA+MB=2MI 

MA+MB+2MC=2MI+2MC=2MI+MC

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: MI+MC=2MK

MA+MB+2MC=2.2MK=4MK.

Mà MA+MB+2MC=0.

Do đó 4MK=0MK=0

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Giả sử P là điểm thỏa mãn PA+2.PH=0

Khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà 4NA2NB+NC=0.

Nên 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AQ=23AB

NP=AQ

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn AQ=23AB và P thỏa mãn PA+2.PH=0, H là trung điểm của AC).

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Đánh giá

0

0 đánh giá