Với lời giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 chi tiết trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ theo hai vectơ và
Lời giải:
Ta có:
+) D là trung điểm của BC nên
+) E là trung điểm của AC nên
Do đó
+) Vì nên
Mà
+) (quy tắc hiệu)
Vậy và
Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau
Lời giải:
Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành
Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông
Þ OC = AB
Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)
Þ AB2 = a2 + a2 = 2a2
+) Có: (quy tắc hình bình hành)
+) Có:
+) Lấy điểm D sao cho nên hai vectơ , cùng hướng và OD = 2OB.
Có:
Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó
Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)
Þ OE2 = (2OB)2 + OA2
Þ OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2
Do đó
+) Lấy điểm G sao cho
Khi đó: hai vectơ , cùng hướng và OG = 2OA;
Và hai vectơ , cùng hướng và OH = 3OB.
Có:
Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)
Þ HG2 = (2OA)2 + (3OB)2
Þ HG2 = (2a)2 + (3a)2
Þ HG2 = 13a2
Do đó
Vậy và
Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
Lời giải:
a) Kẻ đường kính AD.
Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên
Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC
Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB
Þ BH /// CD và CH // BD
Þ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Þ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)
Mà M là trung điểm của BC
Þ M là trung điểm của HD
Mà O là trung điểm của AD
Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD
Þ OM // AH và (tính chất đường trung bình)
Do đó hai vectơ và có:
+ Cùng phương, cùng hướng
+ Độ dài:
Vậy
b) Vì M là trung điểm của BC nên
Mà (câu a)
Vậy
c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
Mà (câu b)
Suy ra
Khi đó và cùng phương, cùng hướng
Þ O, H, G thẳng hàng.
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có
Lời giải:
Với điểm O bất kì ta có:
+) (do M là trung điểm của AB)
+) (do N là trung điểm của CD)
+) (do I là trung điểm của MN)
Þ
Vậy với điểm O bất kì đều có:
Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Lời giải:
+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Þ MN // AC và (tính chất đường trung bình)
Do đó (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có: (2)
Và (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
(quy tắc ba điểm)
(quy tắc ba điểm)
Do đó
+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Khi đó ta có: và hay
Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:
+) Lại có (chứng minh trên)
Nên
Suy ra G và G' trùng nhau.
Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng
Lời giải:
Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.
Tam giác ABC đều nên
Mà PQ // AB nên
HK // AC nên
Tam giác MQK có: nên là tam giác đều.
Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến
Do đó D là trung điểm của QK
(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
+) (2)
+) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành
Tương tự ta có
Khi đó
Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên
Vậy
Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:
Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho
b) Xác định điểm N thoả mãn
Lời giải:
a)
Gọi I là trung điểm của AB.
Khi đó:
Gọi K là trung điểm của IC, khi đó:
Mà
Do đó
Suy ra M ≡ K.
Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).
b)
Ta có:
Gọi H là trung điểm của AC, khi đó
Giả sử P là điểm thỏa mãn
Khi đó
Mà
Nên
Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho
Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành
Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn và P thỏa mãn , H là trung điểm của AC).
Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1
Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ