Trả lời nhanh
Đặt P là điểm thoả OP = OA + OB + OC. Khi đó AP = OB + OC và BC = OC − OB, nên tích vô hướng AP·BC = OC² − OB² = R² − R² = 0, tức AP ⟂ BC. Tương tự BP ⟂ CA. Vậy P là giao hai đường cao, P trùng H, suy ra OA + OB + OC = OH.
Quy ước: trong bài, các kí hiệu như OA, OB, OH, AP… được hiểu là vectơ; độ dài viết là |OA|, |OB|. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nên |OA| = |OB| = |OC| = R.
Đề bài
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng OA + OB + OC = OH.
Cách 1: Dùng tích vô hướng (gọn, không cần chia trường hợp)
Ý tưởng: thay vì đi tìm H, ta dựng sẵn một điểm P “ứng viên” rồi chứng minh P nằm trên hai đường cao.
- Lấy điểm P sao cho OP = OA + OB + OC (điểm P luôn tồn tại và duy nhất).
- Ta có AP = OP − OA = OB + OC.
- Lại có BC = OC − OB.
- Nhân vô hướng: AP·BC = (OB + OC)·(OC − OB) = OC² − OB² = R² − R² = 0.
- Vậy AP ⟂ BC (hoặc AP = 0, tức P ≡ A, khi đó P vẫn nằm trên đường cao kẻ từ A). Như vậy P thuộc đường cao kẻ từ A.
- Hoàn toàn tương tự: BP·CA = (OA + OC)·(OA − OC) = OA² − OC² = 0, nên P thuộc đường cao kẻ từ B.
- Hai đường cao cắt nhau tại duy nhất một điểm là trực tâm H, nên P ≡ H.
Kết luận: OH = OA + OB + OC. ∎
Cách 2: Dùng đường kính và hình bình hành
Gọi D là điểm đối xứng của A qua O, nên AD là đường kính và OD = −OA. Gọi M là trung điểm BC.
- Vì AD là đường kính nên DB ⟂ AB và DC ⟂ AC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- H là trực tâm nên CH ⟂ AB và BH ⟂ AC. Suy ra DB // CH và DC // BH.
- Tứ giác BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, do đó M là trung điểm của HD.
- Vì M là trung điểm BC và cũng là trung điểm HD: OB + OC = 2OM = OH + OD.
- Thay OD = −OA: OB + OC = OH − OA, tức OA + OB + OC = OH. ∎
Lưu ý trường hợp đặc biệt: nếu tam giác vuông (chẳng hạn vuông tại A) thì H ≡ A và hình bình hành BHCD bị suy biến. Khi đó O là trung điểm BC nên OB + OC = 0, và OA + OB + OC = OA = OH, vẫn đúng. Cách 1 không phải chia trường hợp nên an toàn hơn khi làm bài thi.
Hệ quả quan trọng: OH = 3OG và đường thẳng Euler
Vì G là trọng tâm nên OA + OB + OC = 3OG (với mọi điểm O). Kết hợp với kết quả trên:
OH = 3OG
Suy ra ba điểm O, G, H thẳng hàng, G nằm giữa O và H với OG = ⅓OH. Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Euler của tam giác. Ngoài ra, AH = OH − OA = OB + OC = 2OM, nghĩa là khoảng cách từ trực tâm tới một đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ tâm ngoại tiếp tới trung điểm cạnh đối diện.
Kiểm tra bằng số (ví dụ tự đặt)
Chọn hệ trục có O(0; 0), R = 5, A(5; 0), B(3; 4), C(−3; 4) (đều cách O một khoảng 5).
- OA + OB + OC = (5 + 3 − 3; 0 + 4 + 4) = (5; 8).
- BC = (−6; 0) nằm ngang nên đường cao từ A là đường x = 5.
- AC = (−8; 4); đường cao từ B có phương trình −8(x − 3) + 4(y − 4) = 0. Thay x = 5: −16 + 4(y − 4) = 0, suy ra y = 8.
- Vậy H(5; 8), trùng với tổng ở trên. Trọng tâm G(5/3; 8/3) thoả OH = 3OG. ✓
Lỗi sai thường gặp
- Viết OA + OB + OC = 3OH hoặc nhầm với OA + OB + OC = 3OG. Hãy nhớ: tổng ba vectơ từ O bằng OH, còn 3OG là cách viết khác của cùng tổng đó.
- Dùng kết quả này khi O không phải tâm ngoại tiếp. Tính chất chỉ đúng khi |OA| = |OB| = |OC|.
- Khẳng định BHCD là hình bình hành cho mọi tam giác mà quên trường hợp tam giác vuông.
Bài luyện tập
- Bài 1. Chứng minh AH = 2OM với M là trung điểm BC.
Đáp án: AH = OH − OA = (OA + OB + OC) − OA = OB + OC = 2OM. - Bài 2. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC đều thì H, G, O trùng nhau.
Đáp án: tam giác đều có O là tâm, nên OA + OB + OC = 0 (ba vectơ bằng độ dài, lệch nhau 120°). Do đó OH = 0, H ≡ O; mà OH = 3OG nên G ≡ O. - Bài 3. Chứng minh HA + HB + HC = 2HO.
Đáp án: HA + HB + HC = 3HO + (OA + OB + OC) = 3HO + OH = 3HO − HO = 2HO.
Câu hỏi thường gặp
Tính chất OA + OB + OC = OH có đúng với mọi tam giác không?
Đúng với mọi tam giác ABC khi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm, kể cả tam giác vuông hay tù. Điều kiện duy nhất là O phải cách đều ba đỉnh.
Từ kết quả này suy ra được điều gì về đường thẳng Euler?
Vì OA + OB + OC = 3OG nên OH = 3OG, suy ra O, G, H thẳng hàng và G chia đoạn OH theo tỉ lệ OG : GH = 1 : 2. Đường thẳng chứa ba điểm đó là đường thẳng Euler.
Nên chọn cách nào khi làm bài kiểm tra?
Cách dùng tích vô hướng ngắn gọn và không phải xét trường hợp tam giác vuông. Cách dùng đường kính AD và hình bình hành BHCD trực quan hơn nhưng cần lưu ý trường hợp suy biến.