Chứng minh vectơ AB + BC + CD + DA = vectơ 0

Trả lời nhanh

Áp dụng quy tắc ba điểm: AB + BC = AC và CD + DA = CA. Cộng lại được AC + CA = AA = 0, vì CA là vectơ đối của AC. Vậy với mọi tứ giác ABCD (lồi hay lõm) ta đều có AB + BC + CD + DA = 0 (vectơ không). Bản chất: đi dọc đường khép kín thì quay về điểm xuất phát.

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: AB + BC + CD + DA = 0 (đây là các vectơ, đọc là “vectơ AB cộng vectơ BC cộng vectơ CD cộng vectơ DA bằng vectơ không”).

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: với ba điểm M, N, P bất kì, MN + NP = MP. Điểm cuối của vectơ đứng trước phải trùng điểm đầu của vectơ đứng sau.
Vectơ đối: MN và NM là hai vectơ đối nhau, nên MN + NM = 0.
Vectơ không: MM = 0, tức là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối.

Cách 1: Dùng quy tắc ba điểm (ghép cặp)

Ta nhóm bốn vectơ thành hai cặp liền kề:

(AB + BC) + (CD + DA)

Theo quy tắc ba điểm cho A, B, C: AB + BC = AC.
Theo quy tắc ba điểm cho C, D, A: CD + DA = CA.
Do đó tổng bằng AC + CA. Hai vectơ AC và CA đối nhau nên AC + CA = 0.

Kết luận: AB + BC + CD + DA = 0. ∎

Cũng có thể viết gọn: AC + CA = AA = 0.

Cách 2: Chèn điểm O bất kì (dùng hiệu hai vectơ)

Lấy một điểm O tuỳ ý. Mỗi vectơ MN đều viết được thành MN = ON − OM. Khi đó:

AB = OB − OA
BC = OC − OB
CD = OD − OC
DA = OA − OD

Cộng bốn đẳng thức: tổng = (OB − OA) + (OC − OB) + (OD − OC) + (OA − OD). Các số hạng OA, OB, OC, OD đều xuất hiện một lần với dấu “+” và một lần với dấu “−” nên triệt tiêu hết, kết quả bằng 0. ∎

Cách này hay ở chỗ dùng được cho đường khép kín có bao nhiêu đỉnh cũng được.

Vì sao tứ giác lõm hay tứ giác bất kì vẫn đúng?

Trong chứng minh, ta không hề dùng đến tính lồi, song song hay độ dài. Ta chỉ dùng quy tắc ba điểm, mà quy tắc này đúng với ba điểm bất kì. Vì vậy kết quả đúng với mọi bộ bốn điểm A, B, C, D, kể cả khi chúng không tạo thành tứ giác (ví dụ bốn điểm thẳng hàng).

Mở rộng: đường gấp khúc khép kín

Với n điểm A₁, A₂, …, A_n bất kì:

A₁A₂ + A₂A₃ + … + A_nA₁ = 0.

Mẹo nhớ: “đi một vòng rồi về chỗ cũ thì độ dịch chuyển tổng cộng bằng không”. Với tam giác ABC cũng có AB + BC + CA = 0.

Lỗi sai thường gặp

Viết bằng 0 thay vì vectơ 0. Kết quả là vectơ không, không phải số 0. Trong bài nên viết rõ ký hiệu vectơ (có mũi tên trên đầu).
Nhầm với độ dài. Không được kết luận AB + BC + CD + DA = 0 về độ dài. Độ dài bốn cạnh đều dương nên tổng độ dài chắc chắn lớn hơn 0.
Ghép sai thứ tự đầu – cuối. Ví dụ AB + CD không thể dùng quy tắc ba điểm ngay vì điểm cuối B không trùng điểm đầu C.
Nhầm DA với AD. Hai vectơ này ngược hướng. Đề đã cho DA nên giữ đúng chiều.

Bài luyện tập

Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh AB + CD = AD + CB.

Đáp án: Viết AB = AD + DB và CD = CB + BD. Cộng lại: AB + CD = AD + CB + (DB + BD) = AD + CB + 0 = AD + CB. ∎

Bài 2. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Chứng minh AB + BC + CD + DE + EA = 0.

Đáp án: AB + BC = AC; AC + CD = AD; AD + DE = AE; AE + EA = 0. Vậy tổng bằng 0. ∎

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Dựa vào kết quả bài toán trên, hãy chỉ ra các cặp vectơ đối nhau và nhận xét.

Đáp án: Trong hình bình hành, AB = DC nên AB và CD là hai vectơ đối nhau (AB + CD = 0); tương tự BC = AD nên BC + DA = 0. Vậy tổng bốn vectơ bằng 0 vẫn đúng, và còn tách được thành hai cặp vectơ đối.

Câu hỏi thường gặp

Tứ giác ABCD là tứ giác lõm thì AB + BC + CD + DA có còn bằng vectơ không?

Có. Chứng minh chỉ dùng quy tắc ba điểm, đúng với ba điểm bất kì, nên không phụ thuộc tứ giác lồi hay lõm.

Quy tắc ba điểm là gì?

Với ba điểm M, N, P bất kì ta có MN + NP = MP. Điều kiện là điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng điểm đầu của vectơ thứ hai.

Có thể chứng minh bằng cách khác ngoài ghép cặp không?

Có. Chọn điểm O bất kì, viết mỗi vectơ thành hiệu hai vectơ gốc O (ví dụ AB = OB − OA) rồi cộng lại, các số hạng sẽ triệt tiêu hoàn toàn.

Tổng AB + BC + CD + DA bằng 0 có nghĩa là độ dài các cạnh bằng 0 không?

Không. Kết quả là vectơ không, nghĩa là tổng các vectơ triệt tiêu theo hướng. Độ dài các cạnh vẫn dương.