Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải SBT Toán 11 trang 10

Bài 1 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho (OA, OM) = 40°. Gọi M' đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó số đo của góc lượng giác (OA, OM') bằng:

A. 40°+ k360°.

B. 140°+ k360°.

C. 220°+ k360°.

D. 50° + k360°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì M, M' đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nên M, O, M' thẳng hàng.

Ta có:

(OA, OM') = (OA, OM) + (OM, OM') + k360° = 40° + 180° + k360° = 220° + k360°.

Bài 2 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos \alpha =-\frac{2}{5}$  với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ . Khi đó, tan α bằng:

A. $\frac{\sqrt{21}}{5}$ .

B. $-\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

C. $\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

D. $-\frac{\sqrt{21}}{5}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$  nên tan α < 0.

Do đó, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ , ta suy ra

$\tan \alpha =-\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1}=-\sqrt{\frac{1}{{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2}-1}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$.

Bài 3 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α + cot α = 2. Khi đó, tan² α + cot² α bằng:

A. 8.

B. 4.

C. 16.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có tan α + cot α = 2

Suy ra (tan α + cot α)² = 2² = 4.

Mà (tan α + cot α)² = tan² α + 2tan α . cot α + cot² α

= tan² α + 2 . 1 + cot² α = tan² α + cot² α + 2 = 4.

Do đó, tan² α + cot² α = 4 – 2 = 2.

Bài 4 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Kết quả thu gọn của biểu thức

$A=\sin \left(\pi +x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cot \left(2\pi -x\right)+\tan \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)$ là:

A. – 2cot x.

B. 2tan x.

C. 2sin x.

D. – 2sin x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$A=\sin \left(\pi +x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cot \left(2\pi -x\right)+\tan \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)$

$=-\sin x+\sin x+\cot \left(\pi +\pi -x\right)+\tan \left(\pi +\frac{\pi }{2}+x\right)$

$=\cot \left(\pi -x\right)+\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

$=\cot \left(-x\right)+\tan \left(\pi +x-\frac{\pi }{2}\right)$

$=-\cot x-\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$=-\cot x-\cot x=-2\cot x$

Bài 5 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α = 2. Khi đó giá trị của biểu thức $A=\frac{{\sin }^2\alpha -2\sin \alpha .\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha +3{\sin }^2\alpha }$  bằng:

A. 4.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0, hay cos² α ≠ 0, do đó chia cả tử và mẫu của A cho cos² α ta được:

$A=\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-\frac{2\sin \alpha .\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{3{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{{\tan }^2\alpha -2\tan \alpha }{1+3{\tan }^2\alpha }=\frac{2^2-2.2}{1+{3.2}^2}=0$.

Bài 6 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Tính số đo của các góc lượng giác (OA, OB), (OA, OC), (OA, OD), (OA, OE), (OA, OF).

Lời giải:

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}=\frac{360°}{6}=60°=\frac{\pi }{3}$.

Khi đó, ta có:

$\left(OA,OB\right)=\frac{\pi }{3}+k2\pi$;

$\left(OA,OC\right)=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$;

$\left(OA,OD\right)=\pi +k2\pi$;

$\left(OA,OE\right)=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}+k2\pi =-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$;

$\left(OA,OF\right)=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$.

Giải SBT Toán 11 trang 11

Bài 7 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{3}$  với $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ . Tính cos α, tanα, cot α.

Lời giải:

Vì $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$  nên cos α < 0.

Do đó từ sin² α + cos² α = 1, suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Khi đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-2\sqrt{2}$.

Bài 8 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cot x = – 3, $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ . Tính sin x, cos x, tan x.

Lời giải:

Ta có: $\tan x=\frac{1}{\cot x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$ .

Áp dụng công thức $1+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ , ta được ${\sin }^{2}x=\frac{1}{1+{\cot }^{2}x}=\frac{1}{1+{\left(-3\right)}^2}=\frac{1}{10}$.

Mà $\frac{\pi }{2}<x<\pi$  nên sin x > 0. Suy ra $\sin x=\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Khi đó từ $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ , suy ra cos x = cot x . sin x = $-3.\frac{\sqrt{10}}{10}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Bài 9 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin⁴ x + cos⁴ x = 1 − 2sin² x cos² x;

b) sin⁶ x + cos⁶ x = 1 – 3sin² x cos² x.

Lời giải:

a) VT = sin⁴ x + cos⁴ x

= (sin² x)² + (cos² x)² + 2sin² x . cos² x – 2sin² x . cos² x

= (sin² x + cos² x)² – 2sin² x . cos² x

= 1² – 2sin² x . cos² x = 1 – 2sin² x . cos² x = VP (đpcm).

b) VT = sin⁶ x + cos⁶ x

= (sin² x)³ + (cos² x)³

= (sin² x + cos² x)³ – 3sin² x cos² x(sin² x + cos² x)

= 1³ – 3sin² x cos² x . 1

= 1 – 3sin² x cos² x  (đpcm).

Bài 10 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan x = − 2. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) $A=\frac{3\sin x-5\cos x}{4\sin x+\cos x}$ ;

b) $B=\frac{2{\sin }^{2}x-3\sin x\cos x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x+\sin x\cos x}$ .

Lời giải:

a) Vì tan x xác định nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos x ta được:

$A=\frac{3\sin x-5\cos x}{4\sin x+\cos x}$$=\frac{3\tan x-5}{4\tan x+1}=\frac{3.\left(-2\right)-5}{4.\left(-2\right)+1}=\frac{11}{7}$.

b) Vì tan x xác định nên cos² x khác 0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos² x ta được:

$B=\frac{2{\sin }^{2}x-3\sin x\cos x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x+\sin x\cos x}$$=\frac{2{\tan }^{2}x-3\tan x-1}{{\tan }^{2}x+\tan x}$$=\frac{2.{\left(-2\right)}^2-3.\left(-2\right)-1}{{\left(-2\right)}^2+\left(-2\right)}=\frac{13}{2}$.

Bài 11 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính:

a) A = ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\cos }^2\frac{5\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$ ;

b) B = $\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{2\pi }{5}+\mathrm{...}+\sin \frac{9\pi }{5}$  (gồm 9 số hạng);

c) C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89° (gồm 89 thừa số).

Lời giải:

a) Do $\cos \frac{7\pi }{8}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{8}\right)=-\cos \left(-\frac{\pi }{8}\right)=-\cos \frac{\pi }{8}$ ;

$\cos \frac{5\pi }{8}=\cos \left(\pi -\frac{3\pi }{8}\right)=-\cos \left(-\frac{3\pi }{8}\right)=-\cos \frac{3\pi }{8}$.

Nên A = ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\cos }^2\frac{5\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$

= ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\left(-\cos \frac{3\pi }{8}\right)}^2+{\left(-\cos \frac{\pi }{8}\right)}^2$

$=2\left({\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}\right)$

$=2\left({\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}\right)=2.1=2$.

b) Nhận thấy $\sin \frac{9\pi }{5}=\sin \left(-\frac{\pi }{5}+2\pi \right)=\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-\sin \frac{\pi }{5}$  nên $\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{9\pi }{5}=0$ .

Tương tự ta có: $\sin \frac{2\pi }{5}+\sin \frac{8\pi }{5}=\mathrm{0,}\sin \frac{3\pi }{5}+\sin \frac{7\pi }{5}=\mathrm{0,}\sin \frac{4\pi }{5}+\sin \frac{6\pi }{5}=0$ .

Suy ra B = $\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{2\pi }{5}+\mathrm{...}+\sin \frac{9\pi }{5}$

$=\left(\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{9\pi }{5}\right)+\left(\sin \frac{2\pi }{5}+\sin \frac{8\pi }{5}\right)+\left(\sin \frac{3\pi }{5}+\sin \frac{7\pi }{5}\right)+\left(\sin \frac{4\pi }{5}+\sin \frac{6\pi }{5}\right)+\sin \frac{5\pi }{5}$

$=0+\sin \pi =0$.

c) C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89°

= (tan 1° . tan 89°) . (tan 2° . tan 88°) . ... . (tan 44° . tan 46°) . tan 45°

= [tan 1° . cot(90° – 89°)] . [tan 2° . cot(90° – 88°)] . ... . [tan44° . cot(90° – 46°)] . tan 45°

= (tan 1° . cot 1°) . (tan 2° . cot 2°) . ... . (tan 44° . cot 44°) . tan 45°

= 1 . 1 . ... . 1 . 1

= 1.

Bài 12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) sin B = sin(A + C);

b) cosC = – cos(A + B + 2C);

c) $\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B+C}{2}$ ;

d) $\tan \frac{A+B-2C}{2}=\cot \frac{3C}{2}$ .

Lời giải:

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

a) Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.

Vậy sin B = sin(A + C).

b) Do A + B + 2C = A + B + C + C = π + C

Nên cos(A + B + 2C) = cos(π + C) = – cos C.

Suy ra cosC = – cos(A + B + 2C).

c) Ta có: $\frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi }{2}$ , suy ra $\frac{B+C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}$ .

Nên $\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B+C}{2}$ .

d) Ta có: $\frac{A+B-2C}{2}=\frac{A+B+C-3C}{2}=\frac{\pi -3C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{3C}{2}$ .

Suy ra $\tan \frac{A+B-2C}{2}=\cot \frac{3C}{2}$ .

Bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin α + cos α = $\frac{1}{3}$  với $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ . Tính:

a) A = sinα . cos α;

b) B = sin α – cos α;

c) C = sin³ α + cos³ α;

d) D = sin⁴ α + cos⁴ α.

Lời giải:

a) Do sin α + cos α = $\frac{1}{3}$  nên (sin α + cos α)² = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ .

Mà (sin α + cos α)² = sin² α + 2 sin α cos α + cos² α = 1 + 2 sin α cos α.

Do đó, 1 + 2 sin α cos α = $\frac{1}{9}$ , suy ra A = sinα . cos α = $\frac{\frac{1}{9}-1}{2}=-\frac{4}{9}$ .

b) Ta có: B² = (sin α – cos α)² = 1 – 2 sin α cos α = $1-2.\left(-\frac{4}{9}\right)=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$ .

Do $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$  nên sin α < 0 và cos α > 0. Do đó sin α – cos α < 0.

Vậy B = $-\frac{\sqrt{17}}{3}$ .

c) Ta có:

C = sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)³ – 3 sin α cos α(sin α + cos α)

$={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-3.\left(-\frac{4}{9}\right).\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{13}{27}$.

d) Ta có:

D = sin⁴ α + cos⁴ α = 1 – 2sin² α cos² α (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin α cos α)² = $1-2.{\left(-\frac{4}{9}\right)}^2=\frac{49}{81}$ .

Bài 14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Khi vòng quay chuyển động được 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).

Lời giải:

Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng – 2π (rad).

Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng $\frac{-2\pi }{15}.10=\frac{-4\pi }{3}$  (rad).

Xem thêm các bài giải SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I. Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: ${180}^o=\pi$rad, do đó 1 rad $={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$, $1^o=\left(\frac{\pi }{180}\right)$rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{\pi }{2}$rad cũng được viết là $\frac{\pi }{2}$.

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $\left(Ou\equiv O^{\prime }{u}^{\prime }\right)$, tia cuối trùng nhau $\left(Ov\equiv O^{\prime }{v}^{\prime }\right)$.

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$\left(Ou,Ov\right)=\left(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime }\right)+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}.$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$\left(Ou,Ov\right)=\left(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime }\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

 (Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x=$cos$\alpha$, $y=$sin$\alpha$.

tan$\alpha$$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

• Hai góc đối nhau $\alpha$ và $-\alpha$

$\begin{array}{l}\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi$-$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi }{2}$-$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=c\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha \\ \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha \end{array}$

• Hai góc hơn kém $\pi$($\alpha$ và $\pi$ + $\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi +\alpha \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\pi +\alpha \right)=\cot \alpha \end{array}$

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của một góc lượng giác

Đơn vị độ:

Đơn vị radian: