Trả lời nhanh
Cho tan a + cot a = 2. Đáp án đúng là D. 2. Vì cot α = 1/tan α nên tan α · cot α = 1. Bình phương hai vế của tan α + cot α = 2 được tan²α + 2tan α · cot α + cot²α = 4, tức tan²α + cot²α + 2 = 4. Vậy tan²α + cot²α = 2.
Đề bài
Bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 11 Tập 1 (Cánh diều), thuộc Bài 1 “Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác”:
Cho tan α + cot α = 2. Khi đó, tan²α + cot²α bằng:
- A. 8
- B. 4
- C. 16
- D. 2
Lời giải chi tiết
Cách 1: Bình phương tổng
Điều kiện để tan α và cot α cùng xác định là sin α ≠ 0 và cos α ≠ 0. Khi đó cot α = 1/tan α, nên tan α · cot α = 1.
Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b²:
(tan α + cot α)² = tan²α + 2 · tan α · cot α + cot²α = tan²α + cot²α + 2.
Mà (tan α + cot α)² = 2² = 4, nên tan²α + cot²α + 2 = 4, suy ra tan²α + cot²α = 4 − 2 = 2. Chọn D.
Cách 2: Tìm cụ thể tan α
Đặt t = tan α (t ≠ 0), khi đó cot α = 1/t. Phương trình trở thành t + 1/t = 2. Nhân hai vế với t được t² − 2t + 1 = 0, tức (t − 1)² = 0, nên t = 1.
Vậy tan α = 1 và cot α = 1, do đó tan²α + cot²α = 1 + 1 = 2. Cách này còn cho biết thêm: tan α = 1 khi α = π/4 + kπ (k ∈ ℤ), tức là góc 45° hoặc các góc sai khác 45° một bội của 180°.
So sánh hai cách: cách 1 ngắn gọn và dùng được cho mọi giá trị của tổng tan α + cot α, nên phù hợp với bài trắc nghiệm cần tốc độ. Cách 2 dài hơn một chút nhưng cho biết cụ thể giá trị của tan α, cot α và góc α, rất hữu ích khi đề hỏi thêm các biểu thức khác.
Kiểm tra bằng máy tính cầm tay
Chọn α = 45°. Máy tính cho tan 45° = 1, cot 45° = 1/tan 45° = 1. Tổng tan α + cot α = 2 đúng với đề, và tan²45° + cot²45° = 2. Kết quả khớp với đáp án D.
Vì sao các đáp án A, B, C sai?
| Phương án | Lỗi dẫn đến đáp án này |
|---|---|
| A. 8 | Tính nhầm 2 · 2² = 8, coi tan²α + cot²α như hai lần bình phương của tổng. |
| B. 4 | Bình phương tổng nhưng quên trừ đi phần 2tan α · cot α = 2, hoặc nghĩ (a + b)² = a² + b². |
| C. 16 | Bình phương hai lần: (2²)² = 16, nhầm giữa bình phương và luỹ thừa bậc bốn. |
Cot bằng bao nhiêu tan? Mối liên hệ giữa tan và cot
Đây là kiến thức mấu chốt của bài. Với góc α mà sin α ≠ 0 và cos α ≠ 0:
- tan α = sin α / cos α và cot α = cos α / sin α.
- Do đó cot α = 1/tan α (cot là nghịch đảo của tan) và tan α · cot α = 1.
- Cot của một góc bằng tan của góc phụ với nó: cot α = tan(π/2 − α), ví dụ cot 30° = tan 60° = √3.
- tan α và cot α luôn cùng dấu, vì tích của chúng bằng 1 > 0.
| α | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| tan α | √3/3 | 1 | √3 |
| cot α = 1/tan α | √3 | 1 | √3/3 |
| tan α · cot α | 1 | 1 | 1 |
Ngoài ra em cần nhớ ba hệ thức cơ bản thường đi kèm: sin²α + cos²α = 1; 1 + tan²α = 1/cos²α (cos α ≠ 0); 1 + cot²α = 1/sin²α (sin α ≠ 0).
Mở rộng: bài toán tổng quát tan α + cot α = m
Cách bình phương ở trên áp dụng được cho mọi giá trị m. Nếu tan α + cot α = m thì:
- tan²α + cot²α = m² − 2.
- tan³α + cot³α = (tan α + cot α)³ − 3tan α · cot α · (tan α + cot α) = m³ − 3m.
- (tan α − cot α)² = tan²α + cot²α − 2 = m² − 4, nên |tan α − cot α| = √(m² − 4).
- tan α + cot α = sin α/cos α + cos α/sin α = (sin²α + cos²α)/(sin α · cos α) = 1/(sin α · cos α).
Vì (tan α − cot α)² ≥ 0 nên m² ≥ 4, tức là |m| ≥ 2. Nói cách khác, tổng tan α + cot α không bao giờ nằm giữa −2 và 2. Trường hợp m = 2 trong đề là trường hợp “vừa chạm” giới hạn, nên tan α = cot α = 1.
Bài tập tương tự có đáp án
Bài 1. Cho tan α + cot α = 3. Tính tan²α + cot²α.
Đáp án: 3² − 2 = 7.
Bài 2. Cho tan α − cot α = 1. Tính tan²α + cot²α.
Đáp án: (tan α − cot α)² = tan²α + cot²α − 2 = 1, nên tan²α + cot²α = 3.
Bài 3. Cho tan α = 2. Tính cot α và tan²α + cot²α.
Đáp án: cot α = 1/2; tan²α + cot²α = 4 + 1/4 = 17/4.
Bài 4. Cho tan α + cot α = 3. Tính tan³α + cot³α.
Đáp án: 3³ − 3 · 3 = 27 − 9 = 18.
Bài 5. Cho tan α + cot α = 2. Tính sin α · cos α.
Đáp án: tan α + cot α = 1/(sin α · cos α) = 2, nên sin α · cos α = 1/2.
Lưu ý khi làm dạng bài này
- Luôn nhớ tích tan α · cot α = 1: đây là “chìa khoá” biến tổng, hiệu thành biểu thức bình phương.
- Không viết (a + b)² = a² + b²; phải có hạng tử 2ab ở giữa.
- Với bài trắc nghiệm, có thể thử nhanh một góc cụ thể thoả mãn đề (ở đây là 45°) để kiểm tra đáp án.
- Kiểm tra điều kiện xác định: tan α cần cos α ≠ 0, cot α cần sin α ≠ 0.
Câu hỏi thường gặp
Cot bằng bao nhiêu tan?
Cot α bằng nghịch đảo của tan α: cot α = 1/tan α, với điều kiện sin α và cos α khác 0. Vì vậy tan α · cot α = 1.
Cho tan α + cot α = 2 thì tan α bằng bao nhiêu?
Đặt t = tan α thì t + 1/t = 2, suy ra (t − 1)² = 0 nên tan α = 1 và cot α = 1.
tan α + cot α có thể bằng 1 không?
Không. Vì (tan α − cot α)² ≥ 0 nên (tan α + cot α)² ≥ 4, tức |tan α + cot α| ≥ 2.
Công thức tính tan²α + cot²α theo tan α + cot α là gì?
Nếu tan α + cot α = m thì tan²α + cot²α = m² − 2.
Cot 30 độ bằng bao nhiêu?
cot 30° = 1/tan 30° = √3, cũng bằng tan 60°.