Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Giải SBT Toán 11 trang 14

Bài 15 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai góc a và b với tan a = $\frac{1}{7}$  và tanb = $\frac{3}{4}.$  Khi đó, tan(a + b) bằng:

A. 1.

B. $-\frac{17}{31}$ .

C. $\frac{17}{31}$ .

D. – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}.\frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1$ .

Bài 16 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$  với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$  thì giá trị của $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$  bằng:

A. $\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$ .

B. $\sqrt{6}-3$ .

C. $\frac{\sqrt{6}}{6}-3$ .

D. $\sqrt{6}-\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên cos α > 0, do đó từ sin² α + cos² α = 1, suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ta có $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$$=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$ .

Bài 17 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\sin \alpha =\frac{2}{3}$  thì giá trị của biểu thức $P=\left(1-3\cos 2\alpha \right)\left(2+3\cos 2\alpha \right)$  bằng:

A. $\frac{11}{9}$ .

B. $\frac{12}{9}$ .

C. $\frac{13}{9}$ .

D. $\frac{14}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $P=\left(1-3\cos 2\alpha \right)\left(2+3\cos 2\alpha \right)$

Giải SBT Toán 11 trang 15

Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{4}$ .

B. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

C. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{2}$ .

D. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2sin² x cos² x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1-2{\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2=1-2.\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=1-\frac{2\left(1-{\cos }^{2}2x\right)}{4}$

$=1-\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{4-2+2{\cos }^{2}2x}{4}$$=\frac{3+\left(2{\cos }^{2}2x-1\right)}{4}=\frac{3+\cos 4x}{4}$.

Vậy ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

Bài 19 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:

A. – 2cos x.

B. – cos x.

C. 0.

D. sin x – cos x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x

= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x

= 2 cos 120° cos x – cos x

= 2 . $\left(-\frac{1}{2}\right)$  . cos x – cos x

= – cos x – cos x

= – 2 cos x.

Bài 20 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{3}{4}$  thì giá trị của $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}$  bằng:

A. $\frac{23}{16}$ .

B. $\frac{7}{8}$ .

C. $\frac{7}{16}$ .

D. $\frac{23}{8}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}={\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos 2.\frac{a}{2}}{2}=\frac{1+\cos a}{2}=\frac{1+\frac{3}{4}}{2}=\frac{7}{8}$ .

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{\sqrt{5}}{3}$  thì giá trị của biểu thức $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$  bằng:

A. $-\frac{11}{9}$ .

B. $\frac{11}{9}$ .

C. $-\frac{1}{9}$ .

D. $\frac{1}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$

$=-2\left(\cos 2a-\cos \frac{2\pi }{3}\right)$

Bài 22 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{1}{3},\sin b=\frac{-2}{3}$  thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng:

A. $-\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. $\frac{2}{3}$ .

D. $-\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có cos(a + b) cos(a − b)  

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos 2b\right)$

Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$  bằng:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

B. $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

C. $\sqrt{3}$ .

D. $-\sqrt{3}$ .                                                                     

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$$=\frac{2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}{2\cos \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{\pi }{3}\cos \left(-\frac{2\pi }{9}\right)}{\cos \frac{\pi }{3}\cos \left(-\frac{2\pi }{9}\right)}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.

Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$  ta được kết quả là:

A. tan x. 

B. tan 3x.

C. tan 2x.

D. tan x + tan 2x + tan 3x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ $=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x}{2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\cos 2x}$ $=\frac{2\sin 2x\cos \left(-x\right)+\sin 2x}{2\cos 2x\cos \left(-x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin a=\frac{2}{3}$  với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ . Tính:

a) cos a, tan a;

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right),\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right),\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$ ;

c) sin 2a, cos 2a.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$  nên cos a < 0, do đó từ sin² a + cos² a = 1, suy ra

$\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ta có $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$$=\sin a\cos \frac{\pi }{4}+\cos a\sin \frac{\pi }{4}$$=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{6}$ .

$\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right)$$=\cos a\cos \frac{5\pi }{6}+\sin a\sin \frac{5\pi }{6}$$=\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

$\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$$=\frac{\tan a+\tan \frac{2\pi }{3}}{1-\tan a\tan \frac{2\pi }{3}}=\frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}+\left(-\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).\left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{7}$.

c) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{2}{3}.\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{5}}{9}$ .

$\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2.{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2-1=\frac{1}{9}$.

Bài 26 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính $\sin \frac{a}{2}$ , $\cos \frac{a}{2}$ , $\tan \frac{a}{2}$ .

Lời giải:

Do π < a < 2π nên $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\pi$ . Suy ra $\sin \frac{a}{2}>\mathrm{0,}\cos \frac{a}{2}<0$ .

Ta có: ${\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}=\frac{1-\mathrm{0,2}}{2}=\mathrm{0,4}$ , suy ra $\sin \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Do đó, $\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{1-{\sin }^2\frac{a}{2}}=-\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\tan \frac{a}{2}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{-\frac{\sqrt{15}}{5}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Giải SBT Toán 11 trang 16

Bài 28 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b = $\frac{-1}{3}$ .  

Lời giải:

Ta có cos(a + 2b) = 2cos a

⇔ cos[(a + b) + b] = 2cos[(a + b) – b]

⇔ cos(a + b) . cos b – sin(a + b) . sin b = 2[cos(a + b) . cos b + sin(a + b) . sin b]

⇔ cos(a + b) . cos b – 2 cos(a + b) . cos b = 2 sin(a + b) . sin b + sin(a + b) . sin b

⇔ – cos(a + b) . cos b = 3 sin(a + b) . sin b

⇔ sin(a + b) . sin b = $-\frac{1}{3}$  cos(a + b) . cos b

$\iff \frac{\sin \left(a+b\right)\sin b}{\cos \left(a+b\right)\cos b}=-\frac{1}{3}$

⇔ tan(a + b) tan b = $\frac{-1}{3}$ . 

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1$ .

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{\pi }{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà $\tan \left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ .

Khi đó $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\tan C$

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có $\frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi }{2}$ , suy ra $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$  nên $\tan \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}$

$\iff \frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}=\frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

$\iff \left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right)\tan \frac{C}{2}=1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}$

$\iff \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1$

$\iff \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1$.

Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = $\frac{1}{2}$BC, DN = $\frac{1}{3}$DC (Hình 4).

a) Tính $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$ .

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Hình 4

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABM, có $\tan \widehat{BAM}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$ .

Trong tam giác vuông ADN, có $\tan \widehat{DAN}=\frac{DN}{AD}=\frac{DN}{DC}=\frac{1}{3}$ .

Do đó, $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$$=\frac{\tan \widehat{BAM}+\tan \widehat{DAN}}{1-\tan \widehat{BAM}.\tan \widehat{DAN}}$$=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=1$ .

b) Từ câu a) ta có $\tan \left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)$  = 1 nên $\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=45°$ .

Suy ra $\widehat{MAN}=\widehat{BAD}-\left(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}\right)=90°-45°=45°$ .

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

 ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$