HĐ 1 trang 111 Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ 1 trang 111 Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán lớp 11

Van Anh Ngày: 11-08-2024 Lớp 11

Với giải HĐ 1 trang 111 Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 16: Giới hạn của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

HĐ1 trang 111 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số $f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x - 2}$ .

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số $x_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$ . Rút gọn f(x_n) và tính giới hạn của dãy (u_n) với u_n = f(x_n).

c) Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2, tính f(x_n) và tìm $\lim_{n \to + \infty} f (x_{n})$ .

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

$f (x_{n}) = \frac{4 - {(\frac{2 n + 1}{n})}^{2}}{\frac{2 n + 1}{n} - 2}$ $= \frac{4 - {(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{(2 + \frac{1}{n}) - 2} = \frac{4 - (4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{\frac{1}{n}}$ $\frac{- \frac{1}{n} (4 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = - 4 - \frac{1}{n}$ .

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (- 4 - \frac{1}{n}) = - 4$ .

c) Ta có: $f (x_{n}) = \frac{4 - x_{n}^{2}}{x_{n} - 2} = \frac{(2 - x_{n}) (2 + x_{n})}{- (2 - x_{n})} = - 2 - x_{n}$ .

Vì x_n ≠ 2 và x_n ⟶ 2 với mọi n nên $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 2$ .

Do đó, $\lim_{n \to + \infty} f (x_{n})$ $= \lim_{n \to + \infty} (- 2 - x_{n}) = - 2 - 2 = - 4$ .

Lý thuyết Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm $x_{0}$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in (a; b)$ , $x_{n} \neq x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .

*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a, Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ thì

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$

b, Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .