Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 5.11 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}x neu x>1\\ 2 neu x=1\\ 1 neu x<1\end{array}\right)$ . Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1 không?

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }x=1$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }1=1$ .

Vậy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$ nên hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1.

Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+x^2+x-3}{x^3-1}$ ;

c) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}$ ;

d) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$ .

Lời giải:

a)$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4x+1-3^2}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}$.

b)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+x^2+x-3}{x^3-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^3-1\right)+\left(x^2-1\right)+\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(\left(x^2+x+1\right)+\left(x+1\right)+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+1}=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2$.

c) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}$$=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}$ .

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=\mathrm{0,}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1<0$ và x – 2 > 0 khi x → 2⁺, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=-\infty$.

Vậy $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}=-\infty$ .

d)$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$

Vì $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+x-2\right)=0+0-2=-2<0$ , $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0$ và x < 0 nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}=+\infty$ .

Bài 5.13 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+ax neu x>3\\ 3x^2+1 neu x\le 3\end{array}\right)$ có giới hạn khi x → 3.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x^2+ax\right)=3^2+3a=9+3a$ ;

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(3x^2+1\right)={3.3}^2+1=28$.

Do đó, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3 khi $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ , tức là 9 + 3a = 28.

Suy ra $a=\frac{19}{3}$.

Bài 5.14 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các số thực a và b sao cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=b$ .

Lời giải:

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức x² – 3x + 1 nên đa thức 2x² – ax + 1 phải có nghiệm x = 1. Khi đó, 2 . 1² – a . 1 + 1 = 0, suy ra a = 3.

Do đó,

 $$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-3x+2} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)} \end{gathered}$$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1$.

Vậy b = – 1.

Bài 5.15 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}$ . Tính:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}{1}=1$ .

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}{1}=-1$ .

Bài 5.16 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$ .

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{1}{x}-1\right)x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)x^3\left(\frac{1}{x^3}-1\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^6\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\left(\frac{1}{x^3}-1\right)=-\infty$

Bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$ với m là tham số. Biết $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ , tìm giá trị của m.

Lời giải:

Ta có $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$

$=\frac{x^2+2x-x^2+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m\right)=\frac{2}{2}-2m=1-2m$ .

Mà $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ nên 1 – 2m = 0, suy ra $m=\frac{1}{2}$ .

Bài 5.18 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho m là một số thực. Biết $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=-\infty$ . Xác định dấu của m.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)\right)$ .

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)=-m$ nên để $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=-\infty$ thì – m < 0, có nghĩa là m > 0.

Vậy m > 0.

Bài 5.19 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}$ . Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Lời giải:

Lấy dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n → +∞. Khi đó

$\left(f\left(x_n\right)\right)=\left(\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\right)=\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\le \frac{1}{x_n^2}\to 0$ khi n → +∞.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=0$. Từ đó suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Bài 5.20 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 55 (triệu đồng).

a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ . Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Lời giải:

a) Chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm là

$f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+55}{x}$ (triệu đồng).

b) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+55}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$ .

Ý nghĩa của giới hạn trên: Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5